作业帮一个自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数.满足这个条件的自然数中,最小的两个分别为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 17:34:12
一个自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数.满足这个条件的自然数中,最小的两个分别为多少
一个自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数.满足这个条件的自然数中,最小的两个分别为多少
一个自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数.满足这个条件的自然数中,最小的两个分别为多少
约数的个数等于质因数次数加1的积.
因9=3x3=9x1
所以N=p^2q^2,or N=p^8,N-1=(pq+1)(pq-1) or (p^4+1)(p^2+1)(p+1)(p-1)
又8=2x2x2=4x2=8x1
所以N-1=abc or a^3b or a^7
因N,N-1互质,所以p,q,a,b,c为互不相等的质数.
为使N最小,应使p,q为最小的质数,考察前几个质数：
1）\x09N=2^2x3^2=36,N-1=35=5X7不符
2）\x09N=2^8=256,N-1=255=3x5x17,符合
3）\x09N=2^2x5^2=100,N-1=99=3^2x11,不符
4）\x09N=2^2x7^2=196,N-1=195=3x5x13,符合
5）\x09N=3^2x5^2=225,N-1=224=2^5x7,不符
因此得到最小的N=196.
一个自然数N共有9个约数，说明这个数是完全平方数，而N-1恰有8个约数，故以试探得出该数最小为16＾2＝256，有9个约数，而255＝3*5*17刚好有8个约数，故最小的是255和256
自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数，
猜N=p1^2*p2^2,N-1=(p1p2+1)(p1p2-1)
试：p1=2,p2=3,N=36,N-1=5*7(舍）；
p1=2,p2=5,N-1=3^2*11(舍);
p1=2,p2=7,N=196,N-1=13*3*5；
p1=3,p2=5,N-1=7*2^5(舍）；
p1=3,p2=7,N-1...
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自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数，
猜N=p1^2*p2^2,N-1=(p1p2+1)(p1p2-1)
试：p1=2,p2=3,N=36,N-1=5*7(舍）；
p1=2,p2=5,N-1=3^2*11(舍);
p1=2,p2=7,N=196,N-1=13*3*5；
p1=3,p2=5,N-1=7*2^5(舍）；
p1=3,p2=7,N-1=2^3*5*11(舍）；
p1=2,p2=11,N=484,N-1=483=3*7*23.
满足这个条件的自然数中，最小的两个分别为196,484.
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第二个回答和第三个回答结合才是正确答案。
最小的两个196、256：
①
196的约数9个：1、2、4、7、14、28、49、98、196
195的约数8个：1、3、5、13、15、39、65、195
②
256的约数9个：1、2、4、8、16、32、64、128、256
255的约数8个：1、3、5、15、17、51、85、255...
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第二个回答和第三个回答结合才是正确答案。
最小的两个196、256：
①
196的约数9个：1、2、4、7、14、28、49、98、196
195的约数8个：1、3、5、13、15、39、65、195
②
256的约数9个：1、2、4、8、16、32、64、128、256
255的约数8个：1、3、5、15、17、51、85、255
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求因数的个数有算术基本定理,详见参考资料