作业帮数列{an}中,Sn=1+Kan(K≠0,K≠1）求证：数列{an}为等比数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 14:53:43
数列{an}中,Sn=1+Kan(K≠0,K≠1）求证：数列{an}为等比数列
数列{an}中,Sn=1+Kan(K≠0,K≠1）求证：数列{an}为等比数列
数列{an}中,Sn=1+Kan(K≠0,K≠1）求证：数列{an}为等比数列
Sn=1+Kan
则n>=2时,
S(n-1)=1+Ka(n-1)
所以n>=2时 an=Sn-S(n-1)=Kan-Ka(n-1)]
an/a(n-1)=K/(K-1),是个常数
所以an是等比数列
当n=1时，S1=1+k*A1；
因为A1=S1；所以A1=1+K*A1;所以A1=1/(1-K);
当n大于1时，An=Sn-S(n-1)=1+k*An-(1+k*A(n-1))
=k*An-k*A(n-1);
所以An/An-1=k/(k-1);
所以{An}是以1/(1-K)为首项，公比为k...
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当n=1时，S1=1+k*A1；
因为A1=S1；所以A1=1+K*A1;所以A1=1/(1-K);
当n大于1时，An=Sn-S(n-1)=1+k*An-(1+k*A(n-1))
=k*An-k*A(n-1);
所以An/An-1=k/(k-1);
所以{An}是以1/(1-K)为首项，公比为k/(k-1)的等比数列。
An=A1*(k/(k-1))^(n-1)
=-k^(n-1)/(k-1)^n
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Sn=1+Kan
S(n-1)=1+Ka(n-1)
相减得an=Kan-Ka(n-1)
化简得an/a(n-1)=K/(K-1)因为(K≠0，K≠1）所以数列{an}为等比数列
Sn=1+Kan……………………………………(1)
Sn+1=1+Kan+1………………………………(2)
(2)-(1)可得： an+1=Kan+1-Kan
即（K-1）an+1=Kan
所以 （an+1）/（an）=K/(K-1)
因为K为常数，所以K/(K-1)也为常数。...
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Sn=1+Kan……………………………………(1)
Sn+1=1+Kan+1………………………………(2)
(2)-(1)可得： an+1=Kan+1-Kan
即（K-1）an+1=Kan
所以 （an+1）/（an）=K/(K-1)
因为K为常数，所以K/(K-1)也为常数。
所以数列{an}为等比数列.
证毕！
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