作业帮证明1+1/根2+...+1/根号n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 06:04:09
证明1+1/根2+...+1/根号n
证明1+1/根2+...+1/根号n
证明1+1/根2+...+1/根号n
可以知道：
1/√n=2/（2*√n）＜2/（√n+√（n+1））=2（√n-√（n-1））
所以：
1+1/√2+1/√3+……+1/√n
≤1+2（√2-√1）+2（√3-√2）+……+2（√n-√（n-1））=2√n -1＜2√n
注：上面得那个式子当且仅当n=1时取等号!
应该是小于等于吧
可以用数学归纳法，当n=1的时候，取等号。
等n=k时，得出一个式子，然后推出n=k+1时也成立，就能证明这个命题了
用数学归纳法证：
证明：当n=1时，1<2,原不等式成立；
假设当n=k时，1+1/根2+...+1/根号K<2根号K
则当n=K+1时，
1+1/根2+...+1/根号K+1/根号（K+1）<2根号K + 1/根号（K+1）
后面只要说明
要证： 2根号K + 1/根号（K+1）<2 根号（K+1...
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用数学归纳法证：
证明：当n=1时，1<2,原不等式成立；
假设当n=k时，1+1/根2+...+1/根号K<2根号K
则当n=K+1时，
1+1/根2+...+1/根号K+1/根号（K+1）<2根号K + 1/根号（K+1）
后面只要说明
要证： 2根号K + 1/根号（K+1）<2 根号（K+1）
两边同乘以根号（K+1），得
就是要证： 2根号[K（K+1）]+1<2(K+1)
也就是要证： （K+1）-2根号[K（K+1）] + K > 0
而（K+1）-2根号[K（K+1）] + K=[根号（K+1）-根号K]^2>0 成立
所以 1+1/根2+...+1/根号n<2根号n 成立
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证明：构造函数y=1/√x。画出y=1/√x的图像。
如果当x=1,2,3,……，n-1,n时，各项相加得1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n
而1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n可以看作函数在[0,1],[1,2],[2,3]……,[n-1,n]上的各个小矩形面积之和
显然，函数在区间[1,n]上的定积分再加上1显然比1/√1+1/√2+1/√3+……+...
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证明：构造函数y=1/√x。画出y=1/√x的图像。
如果当x=1,2,3,……，n-1,n时，各项相加得1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n
而1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n可以看作函数在[0,1],[1,2],[2,3]……,[n-1,n]上的各个小矩形面积之和
显然，函数在区间[1,n]上的定积分再加上1显然比1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n要大，就此利用放大法。
∫1/√x=2√x（求不定积分），所以y=1/√x在[1，n]上的定积分为2√n-2，再加上1就等于2√n-1<=2√n
而1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n<=2√n-1
所以1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n<=2√n
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