作业帮已知a,b∈R,求证:a5+b5>a3b2+a2b3做到这题目,..只会证如果a,b∈R+...漏了个“=”号。已知a,b∈R,,求证:a5+b5>=a3b2+a2b3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 16:54:39
已知a,b∈R,求证:a5+b5>a3b2+a2b3做到这题目,..只会证如果a,b∈R+...漏了个“=”号。已知a,b∈R,,求证:a5+b5>=a3b2+a2b3
已知a,b∈R,求证:a5+b5>a3b2+a2b3
做到这题目,..只会证如果a,b∈R+...
漏了个“=”号。
已知a,b∈R,,求证:a5+b5>=a3b2+a2b3
已知a,b∈R,求证:a5+b5>a3b2+a2b3做到这题目,..只会证如果a,b∈R+...漏了个“=”号。已知a,b∈R,,求证:a5+b5>=a3b2+a2b3
作差比较法
∵a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3
=a^3(a^2-b^2)+b^3(b^2-a^2)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)²(a+b)(a^2+b^2+ab)
=(a-b)²(a+b)[(a+b/2)²+3b²/4].
当a+b＞0时,a5+b5＞a3b2+a2b3
当a+b=0,或a=b时,a5+b5=a3b2+a2b3
当a+b＜0时,a5+b5＜a3b2+a2b3.
由上面证明,你写的结论不全面.
（a5+b5）－（a3b2+a2b3）=（a5－a3b2）+（b5－a2b3）
= a3（a2－b2）+ b3（b2－a2）=（a2－b2）（a3－b3）
∵ a,b∈R+，且a≠b，则当 a＞b时，有a2＞b2，a3＞b3
得 （a2－b2）（a3－b3）＞0；当 a＜b，有a2＜b2，a3＜b3
得（a2－b2）（a3－b3）＞0 ∴ a5+b5＞a3b2+...
全部展开
（a5+b5）－（a3b2+a2b3）=（a5－a3b2）+（b5－a2b3）
= a3（a2－b2）+ b3（b2－a2）=（a2－b2）（a3－b3）
∵ a,b∈R+，且a≠b，则当 a＞b时，有a2＞b2，a3＞b3
得 （a2－b2）（a3－b3）＞0；当 a＜b，有a2＜b2，a3＜b3
得（a2－b2）（a3－b3）＞0 ∴ a5+b5＞a3b2+a2b3
收起
a5+b5-(a3b2+a2b3)
=(a^5-a^3b^2)-(a^2b^3-b^5)
=a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)
=(a^3-b^3)(a^2-b^2)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)(a+b)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a+b)
=(a-b)^2[(a+b/2)^2+3b^2/4](a+b)
所以，a+b>0时，所证成立
a+b<0时，所证不成立