已知数列{An}中,a1=4,an+1+an=6n+3,求证数列an-3n是等比数列,求证数列an的通项an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 18:06:07
已知数列{An}中,a1=4,an+1+an=6n+3,求证数列an-3n是等比数列,求证数列an的通项an

已知数列{An}中,a1=4,an+1+an=6n+3,求证数列an-3n是等比数列,求证数列an的通项an
已知数列{An}中,a1=4,an+1+an=6n+3,求证数列an-3n是等比数列,求证数列an的通项an

已知数列{An}中,a1=4,an+1+an=6n+3,求证数列an-3n是等比数列,求证数列an的通项an
由A(n+1)+A(n)=6n+3有 A(n+1)-3(n+1)=-[A(n)-3n];(A(n)-3n不等于0,若A(n)-3n=0,则A1-3=0;而A1-3=1矛盾)两边同时处以A(n)-3n;
即【A(n+1)-3(n+1)】/【A(n)-3n】=-1;设Bn=A(n)-3n;则B(n+1)/B(n)=-1;故B(n)是以B1=A1-3=1为首项,-1为公比的等比数列,即B(n)=A(n)-3n=(—1)^(n-1);故A(n)=3n+(—1)^(n-1)

具体步骤如图所示,即

(1)证明

由an+1+an=6n+3,移项得,a n+1      -    3(n+1) = -  (a n  - 3n)

且又有a1-3=1 ,则a n    -   3n  为q=-1的等比数列。

(2)已知a n    -   3n  为q=-1的等比数列,则a n    -   3n  =(-1)^(n-1),

则a n    =(-1)^(n-1) +   3n