长方形的周长是16cm,它的两边x、y是正整数,且满足x-y-x²+2xy-y²+2=0,求其面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 01:26:25

长方形的周长是16cm,它的两边x、y是正整数,且满足x-y-x²+2xy-y²+2=0,求其面积
长方形的周长是16cm,它的两边x、y是正整数,且满足x-y-x²+2xy-y²+2=0,求其面积

长方形的周长是16cm,它的两边x、y是正整数,且满足x-y-x²+2xy-y²+2=0,求其面积
x-y-x^2+2xy-y^2+2=0
化简为
(x-y)^2-(x-y)-2=0
化简为
(x-y-2)(x-y+1)=0
所以
x-y-2=0 (1)
或 x-y+1=0 (2)
因为周长为16
所以 x+y=8 (3)
将(1)(3)联立解得
x=5 y=3
将(2)(3)联立解得
x=7/2 y=9/2
因为 x y都是整数
所以
x=5 y=3
所以面积等于
x*y=15

全部展开

首先，应该说周长是正整数乘以cm，养成习惯不要忘了单位……
方法一：
穷举法。x和y的取值有限，在有限的时间内我们可以作出这道题。
方法二：
关键在于简化这个算式。首先从次数最高项开始。
观察到里面有-x^2+2xy-y^2=-(x-y)^2这样一项。
于是这个式子可以写为一个关于(x-y)的二次函数：
原式左边
=-(x-y)^2+(x-y)+2
=-((x-y)-2)((x-y)+1)
要使这个积为0，要不x-y=2，要不x-y=-1。
如果x-y=2，我们有x+y+x+y=16，x-y=2，解得x=5,y=3。
如果x-y=-1，我们有x+y+x+y=16，x-y=-1，没有正整数解。
结论：x=5，y=3为唯一解。
于是面积为5.3=15（厘米.厘米=平方厘米！）。
这道题的最后一个陷阱在于单位，这个单位如果平方米的话，那答案应该是0.0015平方米。

收起

原式化为：(Y-X)²+Y-X=0 设Y-X=A，那么A²+A=0，因此，A=0，也就是说Y-X=0，因此实际上是一个正方形，边长是4，面积是16cm²