正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.（1）如图2,若点P在线段

正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.（1）如图2,若点P在线段
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点
正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.
（1）如图2,若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E.
1、求证：DF=EF
2、写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论.
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合）PE⊥PB且PE交直线CD于点E,判断（1） 中的结论1、2是否成立?若不成立,写出相应结论.
我去吃饭 ==来看

正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时,显然有DF⊥CF.（1）如图2,若点P在线段
题目显然有问题.DF怎么可能与CF垂直呢? F点在CD上面.应是CF＝DF吧.
（1）
如图,连接PD,作PG⊥BC于G.
1.易证明PF=PG,∠BPG=∠EPF.
因此,三角形BPG与EPF全等,有PD=PB=PE.
又PF⊥CD,易证明DF=EF
2.由正方形斜边与边的关系易得：
PA=(根号2)DF
PC=(根号2)(CE+DF)    ---注 DF=EF
将两式相减得
  PC-PA=(根号2)CE
(2)
当点P在OC上时,E点在DC的延长线上（如图）
1.同理容易证明三角形全等得EF＝DF
2.同理有
PA=(根号2)DF
PC=(根号2)(DF-CE)    ---注 DF=EF
两式相关得
  PA-PC=(根号2)CE
最后再补充一句,在知道上求助,大家不为你的分,求助该有求助的态度,不要好像给人家好处似的“速度速度”.

（1）如图1，延长FP交AB于点Q，，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AQ=BQ，
∴AQ=BQ=PQ，
∵O是对角线AC的中点，
∴PQ=PF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠Q...

全部展开

（1）如图1，延长FP交AB于点Q，，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AQ=BQ，
∴AQ=BQ=PQ，
∵O是对角线AC的中点，
∴PQ=PF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②如图2，过点P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=
2
PG，PC=
2
CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=
2
EF，
∴PC=
2
CF=
2
（CE+EF）=
2
CE+
2
EF=
2
CE+PA，
即PC、PA、CE满足关系为：PC=
2
CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=
2
CE．
如图3：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=
2
PG=
2
DF=
2
EF，PC=
2
CF，
∴PA=
2
EF=
2
（CE+CF）=
2
CE+
2
CF=
2
CE+PC
即PC、PA、CE满足关系为：PA-PC=
2 CE．

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因为AEB=90，AOB=90
所以AEBO四点共圆
所以AEO=ABO
由于为正方形
因此ABO=45
所以AEO=45

（1）延长FP交AB于点Q，，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
易得出BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，

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（1）延长FP交AB于点Q，，
①∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
易得出BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②∵PF⊥CD，PG⊥AD，且，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，
∵四边形DFPG为矩形，
∴PA=2PG，PC=2CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=2EF，
∴PC=2CF=2（CE+EF）=2CE+2EF=2CE+PA，
即PC、PA、CE满足关系为：PC=2CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=2CE．
如图：
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已证），PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=2PG=2DF=2EF，PC=2CF，
∴PA=2EF=2（CE+CF）=2CE+2CF=2CE+PC
即PC、PA、CE满足关系为：PA-PC=2CE．

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