作业帮设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数1.当b＞1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性2.b≤0时,求f(x)的极值点3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln（n+1)-ln n＞1/n²都成立
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:38:54
设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数1.当b＞1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性2.b≤0时,求f(x)的极值点3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln（n+1)-ln n＞1/n²都成立
设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数
1.当b＞1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性
2.b≤0时,求f(x)的极值点
3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln（n+1)-ln n＞1/n²都成立
设函数f(x)=(x-1)²+blnx,其中b为常数1.当b＞1/2时,判断函数f(x)在定义域上的单调性2.b≤0时,求f(x)的极值点3.求证对任意不小于3的正整数n,不等式ln（n+1)-ln n＞1/n²都成立
上面网友真厉害,扯牛顿身上
(1)函数f(x)=(x-1)^2+blnx
x>0函数求导：
f'(x)=2x-2+b/x=[2(x-1/2)^2+(b-1/2)]/x
当b>1/2时
2(x-1/2)^2>=0
b-1/2>0
f'(x)恒大于0因此,函数f(x)在定义域(x>0)上单调递增.
(2)若函数f(x)有极值点
f'(x)=0
x1=[1+√(1-2b)]/2
x2=[1-√(1-2b)]/2
由于x2
已知函数f(x)=(x-1)²+blnx，其中b为常数
1.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x，(x＞0)
当b＞1/2时,△=2²-4*2*b＜0
所以，f'(x)恒大于0
所以，f(x)恒为增函数
2.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x，(x＞0)
令f'(x)=0得...
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已知函数f(x)=(x-1)²+blnx，其中b为常数
1.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x，(x＞0)
当b＞1/2时,△=2²-4*2*b＜0
所以，f'(x)恒大于0
所以，f(x)恒为增函数
2.f'(x)=2x-2+b/x=(2x²-2x+b)/x，(x＞0)
令f'(x)=0得
2x²-2x+b=0，(x＞0)
解得
x1=(1-√(1-2b))/2(x1＜0,舍去)
x2=(1+√(1-2b))/2
所以，
f(x)的极小点为(1+√(1-2b))/2
3.令b=-1
则f(x)=(x-1)²-lnx
求导得f'(x)=(2x²-2x-1)/x
由第2小问知，
f(x)在(0,(1+√3)/2)上递减，在((1+√3)/2,+∞)递增
又因为，f(1)=0,f(4/3)＜0
所以，知f(x)在(1,4/3]上恒有f(x)＜0
当n≥3时，(n+1)/n∈(1,4/3]
所以，
f((n+1)/n)＜0
即((n+1)/n-1)²-ln((n+1)/n)＜0
即1/n²＜ln((n+1)/n)=ln（n+1)-ln n
得ln（n+1)-ln n＞1/n²
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