作业帮关于棣莫弗定理棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗如何证明?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:48:45
关于棣莫弗定理棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗如何证明?
关于棣莫弗定理
棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ
对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗
如何证明?
关于棣莫弗定理棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗如何证明?
不成立!
“cosφ+sinφ”是实数,化为三角形式为：
当cosφ+sinφ≥0时,
cosφ+sinφ＝|cosφ+sinφ|(cos0+isin0)
当cosφ+sinφ＜0时,
cosφ+sinφ＝|cosφ+sinφ|(cosπ+isinπ)
所以,cosφ+sinφ的模是|cosφ+sinφ|,它的辐角是：0或π,而不是φ!
当cosφ+sinφ≥0时,
(cosφ+sinφ)^n＝|cosφ+sinφ|^n(cos0+isin0)
当cosφ+sinφ＜0时,
(cosφ+sinφ)^n＝|cosφ+sinφ|^n(cosnπ+isinnπ)
不成立。
a=45度时
cosa+sina=根号2
(cosφ+sinφ)^n=2^(n/2)
当n>=2时
(cosφ+sinφ)^n=2^(n/2)>=2
而cosnφ+sinnφ 最大值为根号2
2>根号2
所以
n>=2时 都不成立
不成立啊
取n=2，则(cosφ+sinφ)^2=1+2cosφsinφ=1+sin2φ
但这时cos2φ=1不能恒成立。
所以那个三角式是不成立的