高一 数学 下午要交作业了,很急 请详细解答,谢谢! (8 11:59:14)1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘以f(b),且当x1(1)求证：f(x)>0(2)求证：f(x)为减函数(3)当f(4)=16分之1时,解不等式f(x—3)乘

高一 数学 下午要交作业了,很急 请详细解答,谢谢! (8 11:59:14)1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘以f(b),且当x1(1)求证：f(x)>0(2)求证：f(x)为减函数(3)当f(4)=16分之1时,解不等式f(x—3)乘
高一 数学 下午要交作业了,很急 请详细解答,谢谢! (8 11:59:14)
1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘以f(b),且当x<0时,f(x)>1
(1)求证：f(x)>0
(2)求证：f(x)为减函数
(3)当f(4)=16分之1时,解不等式f(x—3)乘以f(5—x2)小于等于4分之1
2.函数f(x)=ax除以(1+x2)    (a不等于0,a属于R)
(1)若a=2,求f(x)在x>0时的最大值；
(2)判断f(x)在区间(—1,1)上的单调性

高一 数学 下午要交作业了,很急 请详细解答,谢谢! (8 11:59:14)1.若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘以f(b),且当x1(1)求证：f(x)>0(2)求证：f(x)为减函数(3)当f(4)=16分之1时,解不等式f(x—3)乘
1、
(1)非零函数f(x),设f(a)不等于0,则f(a)=f(a+0)=f(a)f(0)
所以f(0)=1
取任意x>0,则
f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1
因-x>0,f(-x)>1,所以f(x)=1/f(-x)>0
所以,对于x属于R,都有f(x)>0
(2)设任意x

1.
(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0， 恒成立。则 f(x) > 0 成立。
采用反证法：
假设存在 x0, f(x0) ...

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1.
(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0， 恒成立。则 f(x) > 0 成立。
采用反证法：
假设存在 x0, f(x0) = 0
那么对任意 x，f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾。因此 不存在 x0 ，使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
===============================================
(2)求证:f(x)为减函数
设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)
x1 - x2 < 0 ，而已知 x<0 时, f(x) > 1。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1，恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
====================================================
(3)当f(4)=1/16 时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4
f(4) = 1/16，所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ，舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4
根据 f(a)*f(b) = f(a+b)，则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数，则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ，底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质
2.
(1)a=2,则f(x)=2x/(1+x^2)
由于2x<=1+x^2 （均值不等式，且仅当x=1时取等号）
所以f(x)<=1，即f(x)最大值为1，此时x=1
(2)f'(x)=a(x^2+1)-2xax/(x^2+1)^2=a(1-x^2)/(x^2+1)^2
令上式等于0 解得x=+1或-1
若a>0
x>1 或x<-1时f'(x)<0所以在区间（负无穷，-1）并（1，正无穷）单调递减
-1<=x<=1 f'(x)>0所以f(x)在 【-1，1】 单调递增
当a<0时
x>1 或x<-1时f'(x)>0所以在区间（负无穷，-1）并（1，正无穷）单调递增
-1<=x<=1 f'(x)<0所以f(x)在 【-1，1】 单调递减

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