已知an的绝对值是非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1 +2）（an-2 +2),n=3,4,5.求a3证明an=an+2+ 2an的通项

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 11:35:43

已知an的绝对值是非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1*an=(an-1 +2）*（an-2 +2),n=3,4,5.求a3证明an=an+2+ 2an的通项
已知an的绝对值是非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1*an=(an-1 +2）*（an-2 +2),n=3,4,5.
求a3
证明an=an+2+ 2
an的通项

已知an的绝对值是非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1*an=(an-1 +2）*（an-2 +2),n=3,4,5.求a3证明an=an+2+ 2an的通项
题目是2002年江西高考试卷理科的22题,原题目是“{an}”,不是“an的绝对值”,是证明（an+1）=(an-1)+2”,不是“an=an+2+ 2”.
（1）由题设得a3a4=10,且a3,a4均为非负整数,所以a3的可能的值为1,2,5,10.
若a3=1,则a4=10,a5=3/2,与题设矛盾.
若a3=5,则a4=2,a5=35/2,与题设矛盾.
若a3=10,则a4=1,a5=60,a6=3/5,与题设矛盾.
所以a3=2.
（2）用数学归纳法证明：
当n=3,a3=a1+2,等式成立.
假设当n=k(k大于等于3)时等式成立,即ak=(ak-2)+2,由题设由(ak+1)*ak=[(ak-1) +2]*[（ak-2) +2],因为ak=(ak-2)+2不等于0,所以（ak+1）=(ak-1)+2,也就是说,当n=k+1时,等式（ak+1）=(ak-1)+2成立.
因此,对于n大于等于3,有（an+1）=(an-1)+2.
（3）由(a2k-1)=[a2(k-1)-1]+2,a1=0,及（a2k）=[a2(k-1)]+2,a2=3,得
(a2k-1)=2（k-1）,a2k=2k+1,k=1,2,3...
即an=n+(-1)^n,n=1,2,3...

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证明（an+1）=(an-1)+2”，不是“an=an+2+ 2”。
（1）由题设得a3a4=10，且a3,a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10。
若a3=1，则a4=10,a5=3/2,与题设矛盾。
若a3=5，则a4=2，a5=35/2,与题设矛盾。
若a3=10，则a4=1，a5=60,a6=3/5,与题设矛盾。
所以a3=2。
（2）用数学归纳法证明：
当n=3,a3=a1+2，等式成立。
假设当n=k(k大于等于3)时等式成立，即ak=(ak-2)+2,由题设由(ak+1)*ak=[(ak-1) +2]*[（ak-2) +2],因为ak=(ak-2)+2不等于0，所以（ak+1）=(ak-1)+2，也就是说，当n=k+1时，等式（ak+1）=(ak-1)+2成立。
因此，对于n大于等于3，有（an+1）=(an-1)+2.
（3）由(a2k-1)=[a2(k-1)-1]+2,a1=0,及（a2k）=[a2(k-1)]+2,a2=3,得
(a2k-1)=2（k-1）,a2k=2k+1,k=1,2,3...
即an=n+(-1)^n,n=1,2,3...

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