f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在c,d属于（a,b） 使得(d/c)^(n-1)=f(c)+c/n*f'(c)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:50:04
f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在c,d属于（a,b） 使得(d/c)^(n-1)=f(c)+c/n*f'(c)

f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在c,d属于（a,b） 使得(d/c)^(n-1)=f(c)+c/n*f'(c)
f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在c,d属于（a,b） 使得(d/c)^(n-1)=f(c)+
c/n*f'(c)

f(x)在闭区间上连续,在开区间上可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在c,d属于（a,b） 使得(d/c)^(n-1)=f(c)+c/n*f'(c)
证明：
记g(x)=x^nf(x),h(x)=x^n由初等函数性质知g(x),h(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件
知存在ζ∈(a,b),使得
g(b)-g(a)=g'(ζ)(b-a)
即f(b)b^n-f(a)a^n=b^n-a^n=[nf(ζ)ζ^(n-1)+f'(ζ)ζ^n](b-a).(1)
存在η∈(a,b),使得
h(b)-h(a)=h'(η)(b-a)
即b^n-a^n=n[η^(n-1)](b-a).(2)
由(1)(2)得
nf(ζ)ζ^(n-1)+f'(ζ)ζ^n=nη^(n-1)
整理有(η/ζ)^(n-1)=f(ζ)+(ζ/n)f'(ζ)
因此命题成立.
【其中ζ=c,η=d】

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