作业帮已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 20:34:02
已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
已知三角形ABC,角BAC=90度,AB=AC,若D、E在BC边上,角DAE=45度,探索BD、DE、EC之间的关系,并说明理由
BD²＋EC²＝DE²
证明：
方法1：如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°,得到△ACF,连结EF
则△ACF≌△ABD,∴CF＝BD,AF＝AD,∠CAF＝∠BAD,∠ACF＝∠B＝45°
∴∠ECF＝90°,∴CF²＋EC²＝EF²,BD²＋EC²＝EF²
∵∠BAC＝90°,∠DAE＝45°,∴∠BAD＋∠CAE＝45°
又∵∠CAF＝∠BAD,∠EAF＝∠CAF+∠CAE
∴∠EAF＝45°,∴∠EAF＝∠DAE
又∵AF＝AD,AE＝AE
∴△EAF≌△DAE（SAS）,∴EF＝DE
∴BD²＋EC²＝DE²
方法2：如图2,以A为顶点引射线AF,使∠FAD＝∠BAD,且AF＝AB,连结DF、EF
则有△ADF≌△ADB,∴DF＝BD,∠DAF＝∠BAD,∠ADF＝∠ADB
∵在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,∴AF＝AC
又∵∠DAE＝45°,∴∠BAD＋∠CAE＝45°,∴∠CAE＝45°－∠BAD
而∠FAE＝∠DAE－∠DAF＝45°－∠DAF＝45°－∠BAD,∴∠CAE＝∠FAE
∴△CAE≌△FAE,∴EC＝EF,∠AEC＝∠AEF
又∵∠EDF＋∠DEF＝(∠ADF－∠ADC)＋(∠AEF－∠AEB)
＝(∠ADB－∠ADC)＋(∠AEC－∠AEB)
∠ADB＝∠DAE＋∠AEB＝45°＋∠AEB,∠AEC＝∠DAE＋∠ADC＝45°＋∠ADC
∴∠EDF＋∠DEF＝90°,∴∠DFE＝90°
∴DF²＋EF²＝DE²
∴BD²＋EC²＝DE²
DE等于BD加EC