作业帮关于求傅里叶级数的题第二道题在原题中不是S(5)而是求S(6),不知道这是不是写错了.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 15:27:25
关于求傅里叶级数的题第二道题在原题中不是S(5)而是求S(6),不知道这是不是写错了.
关于求傅里叶级数的题
第二道题在原题中不是S(5)而是求S(6),不知道这是不是写错了.
关于求傅里叶级数的题第二道题在原题中不是S(5)而是求S(6),不知道这是不是写错了.
一般来说这种题的f(x)都会满足条件:
f(x)没有第二类间断点,且对任意a,
∫{0,π} |f(a+t)-f(a+)|/t dt < +∞,∫{0,π} |f(a-t)-f(a-)|/t dt < +∞,
其中f(a-)与f(a+)分别表示f(x)在a处的左右极限.
这个条件可以保证f(x)的Fourier级数在a处收敛到(f(a+)+f(a-))/2.
就结果而言,我们知道在f(x)的连续点处S(x) = f(x),
在间断点处S(x) = (f(x+)+f(x-))/2.
1.首先,这个f(x)可以延拓为(-π,π)上的奇函数:
f(x) = x^4,x ∈ [0,π),f(x) = -x^4,x ∈ (-π,0),
再进一步延拓为2π周期函数.
易见S(x)就是f(x)延拓后的Fourier级数的和函数.
f(x)在-1/2与1/2处都连续,因此S(-1/2) = f(-1/2) = -1/16,S(1/2) = f(1/2) = 1/16.
2.由f(x)以6为周期,S(x)也以6为周期.
故S(4) = S(-2) = f(-2) = 0 (f(x)在-2处连续),
S(5) = S(-1) = (f(-1-)+f(-1+))/2 = (0+(-2))/2 = -1 (f(x)在-1处左右极限分别为0和-2),
S(6) = S(0) = (f(0-)+f(0+))/2 = ((-2)+26)/2 = 12 (f(x)在0处左右极限分别为-2和26),
S(7) = S(1) = (f(1-)+f(1+))/2 = (26+0)/2 = 13 (f(x)在1处左右极限分别为26和0).