作业帮初中二年级几何△ACB 和△ECD为等腰直角三角形.∠ACB＝∠ECD＝90° ；D为AB边上一点.求证：①△ACE≌△BCD ②AD²＋DB²=DE²
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 07:38:25
初中二年级几何△ACB 和△ECD为等腰直角三角形.∠ACB＝∠ECD＝90° ；D为AB边上一点.求证：①△ACE≌△BCD ②AD²＋DB²=DE²
初中二年级几何
△ACB 和△ECD为等腰直角三角形.∠ACB＝∠ECD＝90° ；D为AB边上一点.
求证：①△ACE≌△BCD
②AD²＋DB²=DE²
初中二年级几何△ACB 和△ECD为等腰直角三角形.∠ACB＝∠ECD＝90° ；D为AB边上一点.求证：①△ACE≌△BCD ②AD²＋DB²=DE²
∵ △ACB和△ECD都是等腰三角形,∠ACB=∠ECD=90°
∴ AC=BC,EC=CD
∵∠ACB=∠ECD=90°
∴ ∠ACD+∠DCB=∠ECA+∠ACD
∴ ∠DCB=∠ECA
在△ACE和△BCD中
CE=CD,AC=BC
且∠DCB=∠ECA
有边角边原理知
△ACE≌△BCD
（2）
∵△ECD为等腰直角三角形
∴ DE²=CE²+CD²=2CD²
在△ACB中作辅助线CF⊥AB交AB于F
∵△ACB为等腰直角三角形
∴CF=1/2AB=1/2（AD+DB）
DF=1/2AB-BD=1/2（AD+DB）-BD
在直角三角形CFD中
CD²=CF²+DF²
将CF,DF用上式代入得
CD²=（1/2（AD+DB））²+（1/2（AD+DB）-BD）²
整理得：DE²=AD²+DB²
简单证法：
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如图， （1）由题意可知：∠2与∠1互余，∠3与∠1互余 ∴∠2=∠3 又∵AC=AB，EC=DC ∴ΔACE≌ΔBCD （2）由(1)知AE=BD，∠EAC=∠B=∠BAC=45° ∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=90° ∴AD^2+AE^2=DE^2 即AD²＋DB²=DE²
因为 △ACB 和△ECD为等腰直角三角形
所以 CE=CD
AC=BC
∠ACB＝∠ECD＝90°
又因为 ∠ACD是公共角
所以 ∠ACE=∠DCB
△ACE≌△BCD（SAS）
(2)：∵ △ACB和△ECD都是等腰三角形
∴ ∠CAB=∠CBA=...
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因为 △ACB 和△ECD为等腰直角三角形
所以 CE=CD
AC=BC
∠ACB＝∠ECD＝90°
又因为 ∠ACD是公共角
所以 ∠ACE=∠DCB
△ACE≌△BCD（SAS）
(2)：∵ △ACB和△ECD都是等腰三角形
∴ ∠CAB=∠CBA=45°
又∵ △ACE≌△BCD
∴ ∠EAC=∠CSD=45°
AE=BD
∴∠EAC+∠CAB=90°
△AED是直角三角形
由此可得：AD²+AE²=DE²
∵ AE=BD
∴ AD²＋DB²=DE²
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第一问就不罗嗦了哈，就是一个等量代换的问题，第二问也不必如此复杂吧，只要证明到△AED是个直角△，然后BD=AE不就完了，考小朋友呢？还做到晚上四点！！！本来就是考小朋友的啊，我家小孩马上就要学到，我找点练习做做，看看能不能到时候帮到他什么的。现在重新拿起二十多年前学的东西也真不是容易的事。让各位见笑了。...
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第一问就不罗嗦了哈，就是一个等量代换的问题，第二问也不必如此复杂吧，只要证明到△AED是个直角△，然后BD=AE不就完了，考小朋友呢？还做到晚上四点！！！
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