已知定点M(-1,0)N(3,0),动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2,直线l:y=kx+1与动点P的轨迹交与A,B两点.求向量MA点乘向量MB的取值范围.

已知定点M(-1,0)N(3,0),动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2,直线l:y=kx+1与动点P的轨迹交与A,B两点.求向量MA点乘向量MB的取值范围.
已知定点M(-1,0)N(3,0),动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2,直线l:y=kx+1与动点P的轨迹交与A,B两点.求向量MA点乘向量MB的取值范围.

已知定点M(-1,0)N(3,0),动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2,直线l:y=kx+1与动点P的轨迹交与A,B两点.求向量MA点乘向量MB的取值范围.
设P坐标是(x,y),则有OP:PN=1:2,即有PN=2OP
即有(x-3)^2+y^2=2x^2+2y^2
x^2+y^2+6x-9=0
(x+3)^2+y^2=18
设A(x1,y1),B(x2,y2).
y=kx+1代入P的轨迹中有(1+k^2)x^2+(6+2k)x-8=0
x1+x2=(-6-2k)/(1+k^2),x1x2=-8/(1+k^2)
向量MA=(x1+1,y1),MB=(x2+1,y2)
MA*MB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+(kx1+1)(kx2+1)
=(1+k^2)x1x2+(1+k)(x1+x2)+2
=-8+(1+k)(-6-2k)/(1+k^2)+2
=-6+(-6-2k-6k-2k^2)/(1+k^2)
=-6-(2k^2+8k+6)/(1+k^2)
=(-6-6k^2-2k^2-8k-6)/(1+k^2)
=(-8k^2-8k-12)/(1+k^2)
=-8-(8k+4)/(1+k^2)
设t=(8k+4)/(1+k^2),即有tk^2-8k+t-4=0
当t不=0时有判别式=64-4t(t-4)>=0
即有t^2-4t-16

已知定点M(-1,0)N(3,0)，动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2，直线L:y=kx+1与动点P的轨迹交与A，B两点。求向量MA点乘向量MB的取值范围。
设动点P的坐标为(x，y)，那么由∣OP∣/∣PN∣=1/2，即∣PN∣=2∣OP∣，得：
√[(x-3)²+y²]=2√(x²+y²)；平方去根号得(x-3)²+...

全部展开

已知定点M(-1,0)N(3,0)，动点P到原点O的距离与到点N的距离之比为1/2，直线L:y=kx+1与动点P的轨迹交与A，B两点。求向量MA点乘向量MB的取值范围。
设动点P的坐标为(x，y)，那么由∣OP∣/∣PN∣=1/2，即∣PN∣=2∣OP∣，得：
√[(x-3)²+y²]=2√(x²+y²)；平方去根号得(x-3)²+y²=4(x²+y²)；展开化简得3x²+3y²+6x-9=0；化小系数得x²+y²+2x-3=0；配方得(x+1)²+y²=4，即点P的轨迹是一个圆心在M(-1，0)，半径R=2的园。
将直线L的方程代入园的方程得x²+(kx+1)²+2x-3=(1+k²)x²+2(k+1)x-2=0.............(1)；
直线L：y=kx+1，过定点(0，1)；而此定点在园内，故不论k为何值，L与园总有两个交点。
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；则依维达定理，有：
x₁+x₂=-2(k+1)/(1+k²)；
x₁x₂=2/(1+k²)；
y₁y₂=(kx₁+1)(kx₂+1)=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1
=2k²/(1+k²)-2k(k+1)/(1+k²)+1=-2k/(1+k²)+1=(k²-2k+1)/(1+k²)=(k-1)²/(1+k²)
向量MA=(x₁+1，y₁)；MB=(x₂+1，y₂)；
故MA•MB=(x₁+1)(x₂+1)+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+x₂)+1+y₁y₂
=2/(1+k²)-2(k+1)/(1+k²)+1+(k-1)²/(1+k²)
=[2-2(k+1)+(1+k²)+(k-1)²]/(1+k²)=2(k²-2k+1)/(1+k²)=2(k-1)²/(1+k²)
设u=2(k-1)²/(1+k²)=2(k²-2k+1)/(1+k²)............(2)
令du/dk=2[(1+k²)(2k-2)-2k(k²-2k+1)]/(1+k²)²=4(k²-1)/(1+k²)²=4(k+1)(k-1)/(1+k²)²=0
得驻点k₁=-1，k₂=1；k₁是极大点，k₂是极小点。
将k₁和k₂之值代入(2)式，即得故umax=u(-1)=2×4/2=4；umin=u(1)=0
故MA•MB的取值范围为[0，4].

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