积分 sin^4xcos^2x dx利用三角学解以下积分(如图)Hints:sin^4xcos^2x = sin^2x(sinxcosx)^2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 06:26:49
积分 sin^4xcos^2x dx利用三角学解以下积分(如图)Hints:sin^4xcos^2x = sin^2x(sinxcosx)^2

积分 sin^4xcos^2x dx利用三角学解以下积分(如图)Hints:sin^4xcos^2x = sin^2x(sinxcosx)^2
积分 sin^4xcos^2x dx
利用三角学解以下积分(如图)
Hints:sin^4xcos^2x = sin^2x(sinxcosx)^2

积分 sin^4xcos^2x dx利用三角学解以下积分(如图)Hints:sin^4xcos^2x = sin^2x(sinxcosx)^2
方法1:
原式=∫sin⁴x cos²x 
=∫sin⁴x (1 - sin²x) dx 
=∫(sin⁴x - sin^6x) dx 
= ∫sin⁴x dx - ∫sin^6x dx
后面的看附图,自己整理吧
方法2:
原式=∫sin⁴x cos²x dx
=∫sin²x (sinxcosx)² dx
=∫sin²x * (sin2x / 2)² dx
=1/4 ∫(1 - cos2x)/2  * ( 1 - cos4x)/2 dx
=1/16 ∫(1 - cos2x)  * ( 1 - cos4x) dx
=1/16 ∫(cos4xcos2x - cos2x  - cos4x + 1) dx
=1/16 ∫((cos6x + cos2x) / 2 - cos2x  - cos4x + 1) dx
=1/16 [ sin6x / 12 - sin2x / 4  - sin4x / 4 + x]  + C
= sin6x / 192  -sin2x / 64 - sin4x / 64 + x / 16  + C

请参照;图片

你都知道怎么变换了,还用别人帮求积分吗?

我用[代替积分符号,我没有公式编辑器打不了。[sin^4xcos^2xdx=[sin^2x(sin2x/2)^2dx=-1/8[(sin2x)^2dcos2x=-1/8[(1-(cos2x)^2)dcos2x=-1/8(cos2x-1/3(cos2x)^3)