若过点M（1/2,1）的直线l与圆C:(x-1)^2+y^2=4交A,B两点,C为圆心,当角ACB最小时,直线l的方程

若过点M（1/2,1）的直线l与圆C:(x-1)^2+y^2=4交A,B两点,C为圆心,当角ACB最小时,直线l的方程
若过点M（1/2,1）的直线l与圆C:(x-1)^2+y^2=4交A,B两点,C为圆心,当角ACB最小时,直线l的方程

若过点M（1/2,1）的直线l与圆C:(x-1)^2+y^2=4交A,B两点,C为圆心,当角ACB最小时,直线l的方程
要∠ACB最小,既要使∠ACB所对的边最短,即要过M点的弦长最短,过M点的弦长最短就是:先作直线MC,再作出过M点与MC垂直的直线,那么这条直线就是过M点弦长最短的线,那条直线就是要求的L.用两点式求出MC的方程,因为MC与L垂直,所以斜率k(MC)*k(L)=-1,求得k(L),再设L方程为y-y1=k(L)*(x-x1),将M点的坐标代入x1,y1,最后就得到L的方程了

验证知点M (1 2 ，1) 在圆内，
当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，
由圆的方程，圆心C（1，0）
∵kCM=1-0 1 2 -1 =-2，
∴kl=1 2∴l：y-1=1 2 （x-1 2 ），整理得2x-4y+3=0
故应填2x-4y+3=0

设直线l：y=kx+h与圆C：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
交于点A(x1,y1)和B(X2,Y2)
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2
=(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2
=(1+k^2)(x1-x2)^2
联立：y=kx+h与(x-a)^2+...

全部展开

设直线l：y=kx+h与圆C：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
交于点A(x1,y1)和B(X2,Y2)
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2
=(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2
=(1+k^2)(x1-x2)^2
联立：y=kx+h与(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0
x^2-2ax+a^2+(kx+h)^2-2b(kx+h)+b^2-r^2=0
x^2-2ax+a^2+k^2x^2+2khx+h^2-2bkx-2bh+b^2-r^2=0
(1+k^2)x^2-(2a+2bk-2kh)x+(a^2+b^2-2bh+h^2-r^2)=0
根据韦达定理有：x1+x2=(2a+2bk-2kh)/(1+k^2)
x1×x2=(a^2+b^2-2bh+h^2-r^2)/(1+k^2)
那么:(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1×x2
=[(2a+2bk-2kh)/(1+k^2)]^2-4(a^2+b^2-2bh+h^2-r^2)/(1+k^2)
=4{[(a+k(b-h)]^2-[a^2+(b-h)^2-r^2](1+k^2)}/(1+k^2)^2
=4{[a^2+2ak(b-h)+k^2(b-h)^2]-[a^2+(b-h)^2-r^2+a^2k^2+k^2(b-h)^2-k^2r^2]}/(1+k^2)^2
=4[a^2k^2+2ak(b-h)+(b-h)^2-r^2-k^2r^2]/(1+k^2)^2
=4[(ak+b-h)^2-r^2(1+k^2)]/(1+k^2)^2
则AB^2
=(1+k^2)(x1-x2)^2
=4(1+k^2)[(ak+b-h)^2-r^2(1+k^2)]/(1+k^2)^2
=4[(ak+b-h)^2-r^2(1+k^2)]/(1+k^2)
C(1,2),M(1/2,1)
|CM|=√[(1-1/2)^2+(2-1)^2]=1/2√5<2
点M在圆C内
设直线l的方程是y=kx+h过点M（1/2,1）
1=1/2k+h
h=1-1/2k,
a=1,b=2,r=2
根据上面的公式：
AB^2
=4[(ak+b-h)^2-r^2(1+k^2)]/(1+k^2)
=4[(1k+2-1+1/2k)^2-2^2(1+k^2)]/(1+k^2)
=(3k+2)^2/(1+k^2)-16
cos∠ACB
=(CA^2+CB^2-AB^2)/2CA·CB
=(r^2+r^2-AB^2)/2r^2
=1-AB^2/8
=1-[(3k+2)^2/(1+k^2)-16]/8
=3-1/8×(3k+2)^2/(1+k^2)
(3k+2)^2/(1+k^2)
=(9k^2+12k+4)/(1+k^2)
=[9(1+k^2)+12k-5]/(1+k^2)
=9+(12k-5)/(1+k^2)
令t=（12k-5）/（1+k^2）
t(1+k^2)=12k-5
tk^2-12k+t+5=0
t不=0时,关于k的方程有实解,则判别式>=0
即:144-4t(t+5)>=0
36-t^2-5t>=0
t^2+5t-36<=0
(t+9)(t-4)<=0
-9<=t<=4
当t=0时,k=5/12.包含在内.
所以最大值是4,最小值是-9
cos∠ACB
=9+(12k-5)/(1+k^2)
=9+t
-9<=t<=4
0<=9+t<=13
0<=cos∠ACB<=13
当∠ACB最小时，
cos∠ACB有最大值13，
此时(12k-5)/(1+k^2)=4
4k^2-12k+9=0
(2k-3)^2=0
k=3/2
h=1-1/2k
=1-3/4
=1/4
直线l的方程:y=3/2x+1/4

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