有一个平面经过三角形的重心,三角形的一个角在平面的一边,另2个角在平面的另一边.求证一个角(在平面的一边的那个角)到平面的距离等于另外2个角到平面的距离之和.说说想法也可以!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 01:42:43
有一个平面经过三角形的重心,三角形的一个角在平面的一边,另2个角在平面的另一边.求证一个角(在平面的一边的那个角)到平面的距离等于另外2个角到平面的距离之和.说说想法也可以!

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说说想法也可以!

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因为三角形的三个顶点在同一平面内,所以三个点到平面的距离正比于三点到平面与三角形所在平面交线的距离（因为两个平面的夹角是相同的）；
所以可以简化为三角形三个顶点到过该三角形重心的任意一条直线的距离问题（数量关系）,
假设三角形为ABC,先考虑极端情况下,当过重心的直线刚好通过一个顶点（不妨设为A）,那么这条直线也必过BC的中点,所以结论成立（很简单我就不多说了）
任意一条直线可以认为是与刚才第一条直线成任意角度的直线（假设A,B同侧,BC中点为D,三角形重心为O）,由于OA=2OD,所以当直线转过任意角度时A到直线的距离为2倍的D到直线的距离,同时做l过D且平行于过重心的那条直线,那么B和C到l的距离相等,设A B C D 到l的距离分别为La Lb Lc Ld,且D到过重心的直线的距离为L,那么对于任意过重心的直线都有A B C 到该直线的距离分别为：
La－2Ld,2Ld,Lc＋Ld
容易得到命题中的结论!

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