设a,b为有理数且a+b=20,a^2+b^2最小值为m,ab最大值n,m+n=?

设a,b为有理数且a+b=20,a^2+b^2最小值为m,ab最大值n,m+n=?
设a,b为有理数且a+b=20,a^2+b^2最小值为m,ab最大值n,m+n=?

设a,b为有理数且a+b=20,a^2+b^2最小值为m,ab最大值n,m+n=?
a+b=20,a^2+b^2最小值为m,ab最大值n,m+n=
m=(a+b)^2-2ab=400-2n
ab最大值n
a+b=20
a=b=10
n=ab=100
m=400-2n=400-2*100=200
m+n=100+200=300

用均值不等式a^2+b^2>=2ab 当a=b时取等号
当a=b=10时就是答案了 M=200 N=100
也可以用函数解
b=20-a 所以 a^2+b^2=a^2+（20-a）^2=2a^2-80a+400 把a看做x就是一个2次函数，就可以用定点公式求出最小值（开口向上）
同理ab=a（20-a）=-a^2-20a 开口向下有最大值
具体的自己解...

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用均值不等式a^2+b^2>=2ab 当a=b时取等号
当a=b=10时就是答案了 M=200 N=100
也可以用函数解
b=20-a 所以 a^2+b^2=a^2+（20-a）^2=2a^2-80a+400 把a看做x就是一个2次函数，就可以用定点公式求出最小值（开口向上）
同理ab=a（20-a）=-a^2-20a 开口向下有最大值
具体的自己解

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a^2+b^2=a^2+(20-a)^2=2a^2-40a+200=2(a-10)^2+200
m=200
ab=a(20-a)=-a^2+20a=-(a-10)^2+100
n=100
m+n=300

a+b=20
(a-b)^2>=0
a^2+b^2>=2ab,当a=b=10时，a^2+b^2取最小值=200
同时ab取最大值=100
m+n=200+100=300

b=20-a
a^2+(20-a)^2=2*(a-10)^2+200 m=200
ab=a*(20-a)=-(a-10)^2+100 n=100
m+n=300

a^2+b^2=a^2+(20-a)^2=2a^2-40a+200=2(a-10)^2+200
m=200
ab=a(20-a)=-a^2+20a=-(a-10)^2+100
n=100
m+n=300
给你个以后的快速做法，一般这样的题目取A=B时是最值。

a^2+b^2>=2ab
即m=2ab
a+b>=2根号ab
即ab<=(a+b)^2/4
所以n=400/4=100
所以m=200
于是m+n=300

300

m+n=300
b=20-a
m,n分别是二次函数y=2a^2-40a+400和
y=-a^2+20a的最小值和最大值，利用顶点坐标求出m，n

因为a+b=20 所以a=20-b
a＾2+b＾2＝（20-b）＾2+b＾2
＝b^2-20b+200
这是一个二次函数,开口向上,所以有最小值,即m
可以用-b/2a算,得b=10时,最小值为200 m=200
和上面同样的方法
ab=（20-b）b
=-b^2+20b
同样也是二次函数,开口向下,所以有最大值

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因为a+b=20 所以a=20-b
a＾2+b＾2＝（20-b）＾2+b＾2
＝b^2-20b+200
这是一个二次函数,开口向上,所以有最小值,即m
可以用-b/2a算,得b=10时,最小值为200 m=200
和上面同样的方法
ab=（20-b）b
=-b^2+20b
同样也是二次函数,开口向下,所以有最大值
得b=10时,最大值为100,即n=100
所以 m+n=300
(可能过程中运算不正确,不过思路就是这样,你可以再验算一下)

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a+b≥2√ab,所以ab≤100,即ab的最大值是100.所以a²+b²有最大值是200.所以m+n=300.

由均值不等式
a^2+b^2≥(a+b)^2/2=200=m
当a=b=10得时候等号成立
同理
ab≤(a+b)^2/4=100=n
当a=b=10的时候等号成立
∴m+n=300
注意，在求m的时候，不可用a^2+b^2≥2ab，再把m当成2ab和n相加再求极值，因为n和m取极值不一定在同一点上取到，故这么做是错的...

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由均值不等式
a^2+b^2≥(a+b)^2/2=200=m
当a=b=10得时候等号成立
同理
ab≤(a+b)^2/4=100=n
当a=b=10的时候等号成立
∴m+n=300
注意，在求m的时候，不可用a^2+b^2≥2ab，再把m当成2ab和n相加再求极值，因为n和m取极值不一定在同一点上取到，故这么做是错的

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