一道高中微积分的计算∫上面是√2,下面的-√2后面是根号(4-x^2),等于多少?答案是π＋2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 12:34:50
一道高中微积分的计算∫上面是√2,下面的-√2后面是根号(4-x^2),等于多少?答案是π＋2

一道高中微积分的计算∫上面是√2,下面的-√2后面是根号(4-x^2),等于多少?答案是π＋2
一道高中微积分的计算
∫上面是√2,下面的-√2后面是根号(4-x^2),等于多少?答案是π＋2

一道高中微积分的计算∫上面是√2,下面的-√2后面是根号(4-x^2),等于多少?答案是π＋2
解法一:
令x=2sint, 则dx=2costdt
根号(4-x^2)*dx = 2cost * 2cost * dt
求不定积分得 4 * (t/2+(sin2t)/4)
=2t+sin2t
x由-√2积到√2
即t由-pi/4积到pi/4
所以答案为 2(pi/4)+sin(pi/2) - 2(-pi/4)+sin(-pi/2)=π＋2
解法二:
用平面几何. 画出y=根号(4-x^2),是一个半径为2的上半圆. 从-√2到√2的定积分即这个上半圆被x=-√2和x=√2所夹之面积. 它等於1/4个圆的面积(等于π)加上两个直角三角形的面积(直角边长√2, 面积=1), 所以总面积=π+1+1=2

用三角代换法,令x=2sint,根号(4-x^2)=2cos2t，dx=2costdt
然后换元的同时换积分限,就很容易算出来了.

还元法，或者是用几何求解

后面的函数是一个半圆
但范围只有-√2到√2
圆半径2
可以得到圆心90的一个扇形和两个腰为√2的等腰直角三角形
所以π*2^2/4+(√2)^2/2*2=π＋2

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