作业帮(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sinC 求三角形abc的形状
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:51:51
(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sinC 求三角形abc的形状
(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sinC 求三角形abc的形状
(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sinC 求三角形abc的形状
(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sinC
∵sinC = sin{180°-（A+B)} = sin(A+B)
∴(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B)
a^2sin(A-B) + b^2sin(A-B) = a^2sin(A+B) - b^2sin(A+B)
a^2 { sin(A+B)-sin(A-B) } = b^2 { sin(A+B) + sin(A-B) }
a^2 * 2 cos { [(A+B)+(A-B)]/2 } sin { [(A+B)-(A-B)]/2 } = b^2 * 2 sin{ [(A+B)+(A-B)]/2 } cos { [(A+B)-(A-B)]/2 }
a^2 * 2 cosA sinB = b^2 * 2 sinA cosB
a^2/b^2 = sinA cosB/(cosA sinB)
(sinA/sinB)^2 = sinA cosB/(cosA sinB)
∵sinA≠0,sinB≠0,∴两边同乘以sinB/sinA
sinA/sinB = cosB/cosA
sinAcosA=sinBcosB
1/2sin(2A)=1/2(sin2B)
sin2A=sin2B
0＜2A,2B＜180°
∴2A=2B,或者2A+2B=180°
∴A=B,或A+B=90°
等腰三角形,或直角三角形
首先C=A+B 再用正弦和差公式展开 化简得2b^2sinAcosB=2a^2sinBcosB 此时用正弦定理把b=ksinB a=ksinA带入 得 sinBcosB=sinAcosA 即sin2B=sin2A 2A=2B或者2A+2B=180°
所以 形状是等腰三角形或者直角三角形
直角三角形，C=90度 或者等腰三角形
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB，sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
于是(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sinC 可以变形为：
(a²+b²)(sinAcosB-cosAsinB)=(a²-b²)(sinAcos...
全部展开
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB，sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
于是(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sinC 可以变形为：
(a²+b²)(sinAcosB-cosAsinB)=(a²-b²)(sinAcosB+cosAsinB)
整理得(a^2)cosAsinB=(b^2)sinAcosB
由正弦定理及余弦定理得：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，
sinA=(asinB)/b，故(a^2)*[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]*sinB=(b^2)*[(asinB)/b]*[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]
即(a^2-b^2)(c^2-a^2-b^2)=0（B是三角形内角，故B≠0°，即sinB≠0，因此可在上述等式的两边同时约去sinB）
于是a^2-b^2=0或c^2-a^2-b^2=0
即△ABC是等腰三角形或是直角三角形。
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