一道数学数列求和题1/4 + 2/16 + 3/64 + 4/256+.

一道数学数列求和题1/4 + 2/16 + 3/64 + 4/256+.
一道数学数列求和题
1/4 + 2/16 + 3/64 + 4/256+.

一道数学数列求和题1/4 + 2/16 + 3/64 + 4/256+.
Sn=1/4+2/16+3/64+.+n/4^n
1/4Sn=1/4²+2/64+3/256+.+(n-1)/4^n+n/4^(n+1)
3/4Sn=1/4+1/16+1/64+.+1/4^n-n/4^(n+1)
=1/4[1-1/4^n]/(1-1/4)-n/4^(n+1)
=1/3[1-1/4^n]-n/4^(n+1)
Sn=4/9[1-1/4^n-4/3*n/4^(n+1)
∴1/4 + 2/16 + 3/64 + 4/256+.=lim(n-->∞)Sn=4/9

1/4 +2/16 +3/64 +4/256+...
an = n/2^(2n)
Sn =a1+a2+..+an
= summation (i:1->n) i/2^(2i)
= (1/4)summation (i:1->n) i/4^(i-1)
consider
1+x+x^2+..+x^n= (x^n-1)/(x-1)

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1/4 +2/16 +3/64 +4/256+...
an = n/2^(2n)
Sn =a1+a2+..+an
= summation (i:1->n) i/2^(2i)
= (1/4)summation (i:1->n) i/4^(i-1)
consider
1+x+x^2+..+x^n= (x^n-1)/(x-1)
1+2x+..+nx^(n-1) =[(x^n-1)/(x-1)]'
=( nx^(n+1) -(n+1)x^n +1 )/(x-1)^2
put x=1/4
summation (i:1->n) i/4^(i-1)
=(16/9)( n(1/4)^(n+1) -(n+1)(1/4)^n +1 )

Sn = (1/4)summation (i:1->n) i/4^(i-1)
= (4/9)( n(1/4)^(n+1) -(n+1)(1/4)^n +1 )

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该数列的通项为：
xn = n/4^n
令Sn=1/4 + 2/16 + 3/64 + 4/256+......+(n-1)/4^(n-1)+n/4^n，那么
4Sn=4+2/4+3/16 + 4/64 +5/256 +.....+n/4^(n-1)
4Sn-Sn =
3Sn = 4+1/4+1/16+1/256+....+1/4^(n-1)-n/4^n<...

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该数列的通项为：
xn = n/4^n
令Sn=1/4 + 2/16 + 3/64 + 4/256+......+(n-1)/4^(n-1)+n/4^n，那么
4Sn=4+2/4+3/16 + 4/64 +5/256 +.....+n/4^(n-1)
4Sn-Sn =
3Sn = 4+1/4+1/16+1/256+....+1/4^(n-1)-n/4^n
中间是 1/4+1/16+1/256+。。。+1/4^(n-1) ，这是一个公比为1/4，共n-1项的等比数列。
对其进行求和就行了（公式实在记不住了，抱歉，假设是Tn吧）
那么3Sn=4+Tn-n/4^n
Sn = (4+Tn-n/4^n)/3

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通项公式：an=n/4^n。
Sn= 1/4+2/16+3/64+4/256+...+(n-1)/4^(n-1)+n/4^n;
4Sn=1+2/4+3/16+4/64+5/256+...+n/4^(n-1)
两式相减，得：
3Sn=1+1/4+1/16+1/64+1/256+...+1/4^(n-1)-n/4^n
={[1-(1/4)^n]/(1-1/4)}-n/4^n
={[1-(1/4)^n]*4/3-n/4^n;
Sn={[1-1/4^n]*4/9-n/3*(4^n);

不能被求和，但是可以证明这一点<3分之5
n≥2时，2 ^ n的≥4，所以2 ^（n-2个）-1≥0，双方加3 * 2 ^（正2因此，1），得到的2 ^ n-1≥3 * 2 ^（n-2个），然后采取倒计时，得到1 /（2 ^ n-1个）≤1 /（3 * 2 ^（n-2个） ）
+1 / 3 +1 / 7 + ...... 1 /（2 ^ n-1个）≤1 +1 / 3 +1 /（...

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不能被求和，但是可以证明这一点<3分之5
n≥2时，2 ^ n的≥4，所以2 ^（n-2个）-1≥0，双方加3 * 2 ^（正2因此，1），得到的2 ^ n-1≥3 * 2 ^（n-2个），然后采取倒计时，得到1 /（2 ^ n-1个）≤1 /（3 * 2 ^（n-2个） ）
+1 / 3 +1 / 7 + ...... 1 /（2 ^ n-1个）≤1 +1 / 3 +1 /（3 * 2）+1 /（3 * 2 ^ 2）+ ...... 1 /（3 * 2 ^（n-2个））
背后几何列求和，它可以得到原来的≤5/3-1 /（3 * 2 ^（n-2个））<5/3的

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