作业帮设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立求证(1) f(1/x)=-f(x)(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 07:55:33
设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立求证(1) f(1/x)=-f(x)(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立
求证
(1) f(1/x)=-f(x)
(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
设f(x)是定义在正实数集上的函数,并且对任意的正实数xy,恒有f(xy)=f(x)+f(y)成立求证(1) f(1/x)=-f(x)(2) 若n属于正实数集,则f(x/n)=f(x)-f(n)
证明：
（1）
由于：f(xy)=f(x)+f(y)
则：令x=y=1
则有：
f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
则：f(1)=0
再令:y=1/x
则有：
f[x*(1/x)]=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
又：f(1)=0
则：
0=f(x)+f(1/x)
f(1/x)=-f(x)
(2)由于：
n属于正实数集
则：（1/n）属于正实数集
则有：
f[x/n]+f(n)=f[(x/n)*n]
即：
f(x/n)=f(x)-f(n)
(1)取x=1 f(y)=f(y)+f(1) f(1)=0
再取y=1/x
f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=f(1)=0
所以f(1/x)=-f(x)
（2）取y=1/n
f(xy)=f(x/n)=f(x)+f(1/n)
由（1）知：f(1/n)=-f(n)
所以f(x/n)=f(x)-f(n)
证明：
(1)另y=x=1,得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
另y=1/x,得f(1)=f(x)+f(1/x),0=f(x)+f(1/x), f(1/x)=-f(x)
(2) f(x/n)=f[x×(1/n)]=f(x)+f(1/n)=f(x)-f(n)