怎么用微积分证明球的表面积和体积公式?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 13:56:09

怎么用微积分证明球的表面积和体积公式?
怎么用微积分证明球的表面积和体积公式?

怎么用微积分证明球的表面积和体积公式?
设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2(2(pi)(R^2-x^2))
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.
球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)

怎么用微积分证明球的表面积和体积公式? 怎么用微积分证明球的表面积和体积公式? 球的表面积计算公式请用微积分证明一遍, 为什么相同体积球表面积最小,相同表面积球体积最大（微积分怎么证明）高等数学希望给出立体的表面积与体积的关系式球的表面积公式和体积公式如何用微积分推出球体的表面积,体积公式只借助圆周率,园周长,面积公式.和微积分请用高等数学(微积分)的知识解释:球的体积公式的导数就是球的表面积公式? 球的体积和表面积怎么算?（一定要公式!）球体表面积与体积公式证明最好用中国古代祖氏等人的方法与微积分两种方法（有图有追加! 球的体积和表面积公式球的体积和表面积公式是什么? 球的表面积和体积计算公式? 球的表面积和体积公式? 球的体积和表面积怎么求?谁能告诉我球的体积和表面积的计算公式所有图形的体积和表面积公式+球的体积和表面积公式（中文）快! 怎么证明圆锥题的表面积和体积? 如何证明球的体积公式要完整的微积分推导过程圆柱体的表面积公式和体积公式