为什么说罗尔定理的推论：若函数的n阶导数不等于零,则原函数至多有n个根?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 15:33:12

为什么说罗尔定理的推论：若函数的n阶导数不等于零,则原函数至多有n个根?
为什么说罗尔定理的推论：若函数的n阶导数不等于零,则原函数至多有n个根?

为什么说罗尔定理的推论：若函数的n阶导数不等于零,则原函数至多有n个根?
罗尔定理：f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,如果f(a)=f(b),则f'(x)至少有一个根.
特别的,如果上述f(a)=f(b)=0,也就是f(x)在[a,b]有两个根,那么f'(x)在(a,b)至少有一个根.反之,如果f'(x)在(a,b)没有根,f(x)在[a,b]就不会有多于1个的根.
简单说,导函数没有根,原函数至多有一个根.
推而广之,如果f(x)在[a,b]连续,在(a,b)内n阶可导.并且f(x)在[a,b]有n+1个根:x0,x1,x2,...xn,那么根据罗尔定理,f'(x)在(x0,x1),(x1,x2),...,(xn-1,xn)内分别至少有一个根,从而在(a,b)内至少有n个根,同理f''(x)在(a,b)内至少有n-1个根,...,fk(x)（k阶导数)在(a,b)内至少有n-k+1个根,n阶导数fn(x)在(a,b)内至少有1个根.
因此,反过来,如果n阶导数没有根,f(x)就至多有n个根.

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