作业帮在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:44:12
在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.
在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.
在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.
∵E、F是AB、AC的中点,∴EF到BC的距离＝点A到BC的距离/2,
∴△ABC的面积＝2△PBC的面积,而△ABC的面积＝2,∴△PBC的面积＝1,
又△PBC的面积＝（1/2）PB×PCsin∠BPC,∴PB×PC＝2/sin∠BPC.
由向量夹角公式,有：cos∠BPC＝向量CP·向量BP/（｜向量CP｜｜向量BP｜）,
∴向量CP·向量BP＝PB×PCcos∠BPC＝2cos∠BPC/sin∠BPC.
由余弦定理,有：BC^2＝BP^2＋CP^2－2BP×CPcos∠BPC.
显然,BP、CP都是正数,∴BP^2＋CP^2≧2BP×CP,∴BC^2≧2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC.
∴向量CP·向量BP＋BC^2
≧2cos∠BPC/sin∠BPC＋2BP×CP－2BP×CPcos∠BPC
＝2cos∠BPC/sin∠BPC＋4/sin∠BPC－4cos∠BPC/sin∠BPC
＝（4－2cos∠BPC）/sin∠BPC.
令∠BPC＝2x,则：
向量CP·向量BP＋BC^2
≧［4（cosx）^2＋4（sinx）^2－2（cosx）^2＋2（sinx）^2］/（2sinxcosx）
＝［（cosx）^2＋3（sinx）^2］/（sinxcosx）
＝cosx/sinx＋3sinx/cosx.
在△PBC中,显然有：0°＜∠BPC＜180°,∴0°＜2x＜180°,∴0°＜x＜90°,
∴cosx、sinx都是正数,∴cosx/sinx＋3sinx/cosx≧2√3,∴向量CP·向量BP＋BC^2≧2√3.
∴向量CP·向量BP＋BC^2的最小值为2√3.
向量PB=2向量PE-向量PA，
向量PC=2向量PF-向量PA，
向量PB*向量PC+向量BC^2= 向量PA^2+3/4向量BC^2>=1/4h^2+3/4BC^2(h为BC边上的高)
>=1/4 * 2 * 根号3*h*BC =2* 根号3(因为面积为2，所以h*BC =4)