在正方形ABCD的BC和CD上分别有点E、F,角EAF=45度,BD分别交AE、AF于M、N,AG垂直EF于G,且BE=4,DF=6,BM=3倍的根号2,求MN的长

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 22:32:51

在正方形ABCD的BC和CD上分别有点E、F,角EAF=45度,BD分别交AE、AF于M、N,AG垂直EF于G,且BE=4,DF=6,BM=3倍的根号2,求MN的长
在正方形ABCD的BC和CD上分别有点E、F,角EAF=45度,BD分别交AE、AF于M、N,AG垂直EF于G,且BE=4,DF=6,
BM=3倍的根号2,求MN的长

延长CB至Q,使BQ=DF=6,

∵AD=AB,BQ=DF,〈FDA=〈QBA=90°,

∴RT△ADF≌RT△ABQ,

∴〈BAQ=〈FAD,

AQ=AF,

∵〈FAE=45°,〈DAB=90°,

∴〈DAF+〈EAB=45°,

∴〈QAE=〈EAB+〈BAQ=〈EAB+〈DAF=45°,

∴〈EAQ=〈FAE=45°,

∵AE=AE（公用边）,

∴△FAE≌△QAE,

∴EF=EQ=EB+BQ=4+6=10,

设正方形边长AB=x,

在△EFC中,根据勾股定理,

(x-6)^2+(x-4)^2=10^2,

x^2-10x-24=0,

(x-12)(x+2)=0,

∴x=12,(舍去负根-2）,

AB=12,

根据勾股定理,AE=√（AB^2+BE^2)=4√10,

在△MBE中,

BM=3√2.BE=4,〈MBE=45°.

根据余弦定理,ME=√10,

AM=AE-ME=3√10,

∵〈EMB=〈NMA,（对顶角相等）,

〈MBE=〈NAM=45°,

∴△AMN∽△BME,

∴BM/AM=ME/MN,

3√2/（3√10）=√10/MN,

∴MN=5√2.

你这题。太恐怖了

设正方形的边长为a
则有：tan∠DAF=6/a ①
tan∠BAE=tan(45-∠DAF）=4/a
(1-tan∠DAF)/(1+∠DAF)=4/a ②
将①代入②化简得：a²-10a-24=0
解之得：a=12（另一根为负值，舍去)
BD=√(12²+12²)...

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设正方形的边长为a
则有：tan∠DAF=6/a ①
tan∠BAE=tan(45-∠DAF）=4/a
(1-tan∠DAF)/(1+∠DAF)=4/a ②
将①代入②化简得：a²-10a-24=0
解之得：a=12（另一根为负值，舍去)
BD=√(12²+12²)=12√2
∵△DNF∽△ABN
∴DN/BN=DF/AB=1/2
DN=BN/2=BD/3=4√2
BN=BD-DN=12√2-4√2
MN=BN-BM=8√2-3√2=5√2
AG垂直EF于G条件貌似多余

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