作业帮如图AB是过抛物线y平方等于2px（p>0）焦点f的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MN垂直l,N为垂足.求证：1.AN⊥AB2.FN⊥AB3.若MN交抛物线于Q,则Q平分MN4.1/│FA│+1/│FB│=2/p第四个用两种办法.几何和代
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:21:05
如图AB是过抛物线y平方等于2px（p>0）焦点f的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MN垂直l,N为垂足.求证：1.AN⊥AB2.FN⊥AB3.若MN交抛物线于Q,则Q平分MN4.1/│FA│+1/│FB│=2/p第四个用两种办法.几何和代
如图AB是过抛物线y平方等于2px（p>0）焦点f的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MN垂直l,N为垂足.
求证：1.AN⊥AB
2.FN⊥AB
3.若MN交抛物线于Q,则Q平分MN
4.1/│FA│+1/│FB│=2/p
第四个用两种办法.几何和代数!谢谢!
图可以自己画嘛、100分了都。
如图AB是过抛物线y平方等于2px（p>0）焦点f的弦,M是AB的中点,l是抛物线的准线,MN垂直l,N为垂足.求证：1.AN⊥AB2.FN⊥AB3.若MN交抛物线于Q,则Q平分MN4.1/│FA│+1/│FB│=2/p第四个用两种办法.几何和代
1）
设AA',BB'分别是A、B到准线的距离
则：|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|
M为AB中点
所以,|MN|=(|AA'|+|BB'|)/2=(|AF|+|BF|)/2=|AB|/2
所以,|MN|=|AM|=|BM|=|AB|/2
所以,AN⊥AB
2）
设A(y1^2/2p,y1),B(y2^2/2p,y2)
则AB斜率=(y2-y1)/(y2^2/2p-y1^2/2p)=2p/(y2+y1)
M点坐标((y1^2+y2^2)/4p,(y1+y2)/2)
N点坐标(-p/2,(y1+y2)/2)
NF斜率：[(y1+y2)/2)] / (-p/2-p/2)=-(y1+y2)/2p
AB斜率*NF斜率=2p/(y2+y1)*[-(y1+y2)/2p]=-1
所以,FN⊥AB
3）
AB方程：y=2p(x-p/2)/(y1+y2)
x=y(y1+y2)/2p+p/2
代人：y^2=2px得：
y^2-(y1+y2)y-p^2=0
y1y2=-p^2
MN方程：y=(y1+y2)/2
代入抛物线方程y^2=2px得交点Q横坐标为：(y1+y2)^2/8p
MN中点横坐标=[(y1^2+y2^2)/4p-p/2]/2
=(y1^2+y2^2-2p^2)/8p
=(y1^2+y2^2+2y1y2)/8p
=(y1+y2)^2/8p
=点Q横坐标
所以,Q平分MN
4）
|FA|=|AA'|=y1^2/2p+p/2=(y1^2+p^2)/2p
|FB|=|BB'|=(y2^2+p^2)/2p
1/|FA|+1/|FB|
=2p(1/(y1^2+p^2)+1/(y2^2+p^2))
=2p*(y1^2+y2^2+2p^2)/(y1^2y2^2+p^2(y1^2+y2^2)+p^4)
=2p*(y1^2+y2^2+2p^2)/(p^4+p^2(y1+y2)+p^4)
=2p(y1^2+y2^2+2p^2)/[p^2(y1^2+y2^2+2p^2)]
=2/p