求证：三角形的任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 20:15:39

求证：三角形的任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍.
求证：三角形的任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍.

求证：三角形的任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍.
H、O分别是△ABC的垂心、外心,过O作OD⊥BC交BC于D.求证：AH＝2OD.
证明：
过O作OE⊥AB交AB于E,过E作EF⊥BC交BH于F,连结DF.
∵O是△ABC的外心,OD⊥BC、OE⊥AB,∴BD＝CD、AE＝BE.
∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC、CH⊥AB.
由AH⊥BC、EF⊥BC,得：EF∥AH,又AE＝BE,∴BF＝HF.
由BF＝HF、BD＝CD,得：DF是△BCH的中位线,∴DF∥CH.
由DF∥CH、OE⊥AB、CH⊥AB,得：OE∥DF.
由OD⊥BC、EF⊥BC,得：OD∥EF,结合证得的OE∥DF,得：ODFE是平行四边形,
∴OD＝EF.
由BE＝AE、BF＝HF,得：EF是△BAH的中位线,∴AH＝2EF,结合证得的OD＝EF,得：
AH＝2OD.

根据重心的性质：G为重心，则GA:GD=2:1。

重心是中线的交点，所以AG与BC的交点是边的中点，即D是BC中点。

因为O为外心，外心是垂直平分线的交点，而D是BC中点，所以OD⊥BC。

H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。

连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 　　连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。

所以AH:OD=GA:GD,

又GA:GD=2:1,

所以AH:OD=2:1,