一个数学题：已知在三角形ABC中,a+c=2b,则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 00:14:23
一个数学题：已知在三角形ABC中,a+c=2b,则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=?

一个数学题：已知在三角形ABC中,a+c=2b,则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=?
一个数学题：已知在三角形ABC中,a+c=2b,则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=?

一个数学题：已知在三角形ABC中,a+c=2b,则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=?
∵a＋c＝2b
∴sinA＋sinc＝2sinB
即sinA＋sinC＝2sin(A＋C)
由和差化积、二倍角公式得：
2sin[(A+C)/2]×cos[(A-C)/2]＝4sin[(A+C)/2]×cos[(A+C)/2]
∵sin[(A+C)/2]≠0
∴cos[(A-C)/2]＝2cos[(A+C)/2]　
cos(A/2)cos(C/2)＋sin(A/2)sin(C/2)＝2cos(A/2)cos(C/2)－2sin(A/2)sin(C/2)
即3sin(A/2)sin(C/2)＝cos(A/2)cos(C/2)
∴tan(A/2)×tan(C/2)＝1/3
∴[(1－cosA)/sinA]×[(1－cosC)/sinC]＝1/3
∴cosA＋cosC－cosAcosC＋（1/3)sinAsinC＝1

∵a＋c＝2b
∴sinA＋sinc＝2sinB
即sinA＋sinC＝2sin(A＋C)
由和差化积、二倍角公式得：
2sin[(A+C)/2]×cos[(A-C)/2]＝4sin[(A+C)/2]×cos[(A+C)/2]
∵sin[(A+C)/2]≠0
∴cos[(A-C)/2]＝2cos[(A+C)/2]　
cos(A/2)cos(C...

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∵a＋c＝2b
∴sinA＋sinc＝2sinB
即sinA＋sinC＝2sin(A＋C)
由和差化积、二倍角公式得：
2sin[(A+C)/2]×cos[(A-C)/2]＝4sin[(A+C)/2]×cos[(A+C)/2]
∵sin[(A+C)/2]≠0
∴cos[(A-C)/2]＝2cos[(A+C)/2]　
cos(A/2)cos(C/2)＋sin(A/2)sin(C/2)＝2cos(A/2)cos(C/2)－2sin(A/2)sin(C/2)
即3sin(A/2)sin(C/2)＝cos(A/2)cos(C/2)
∴tan(A/2)×tan(C/2)＝1/3 　
因为tanA/2tanC/2=1/3
所以cosA+cosC-cosAcosC+(1/3)sinAsinC
=cosA+cosC-cosAcosC+(tanA/2tanC/2)sinAsinC
=cosA+cosC-cosAcosC+(1-cosA)/sinA*(1-cosC)/sinC*sinAsinC
=cosA+cosC-cosAcosC+(1-cosA)(1-cosC)
=cosA+cosC-cosAcosC+(1-cosA-cosC+cosAcosC)
=1

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