作业帮知中心在原点的椭圆C过点M(1,根号6/2）,F(-根号2,0）是椭圆的左焦点,P,Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 09:41:21
知中心在原点的椭圆C过点M(1,根号6/2）,F(-根号2,0）是椭圆的左焦点,P,Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.
知中心在原点的椭圆C过点M(1,根号6/2）,F(-根号2,0）是椭圆的左焦点,P,Q是椭圆C上的两个动点,
且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.
求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.
知中心在原点的椭圆C过点M(1,根号6/2）,F(-根号2,0）是椭圆的左焦点,P,Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
1/a^2+6/(4b^2)=1
a^2-b^2=2
椭圆方程为x^2/4+y^2/2=1
设P点坐标（x1,y1）,Q点坐标（x2,y2）
根据椭圆第二定义,平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上,该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线,该常数为离心率）
|PF|=（根号2）*x1/2+2
|MF|=（根号2）/2+2
|QF|=（根号2）*x2/2+2
因为|PF|,|MF|,|QF|成等差数列
（根号2）+4=4+（根号2）*(x1+x2)/2
x1+x2=2
设PQ中点坐标为（x0,y0）
则x0=(x1+x2)/2=1
又因为P,Q在椭圆上,所以
x1^2/4+y1^2/2=1
x2^2/4+y2^2/2=1
上面两个式子相减,得
x1^2-x2^2=-2(y1^2-y2^2)
(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y1)
又x1+x2=2
y1+y2=-(x1-x2)/(y1-y2)=2y0 式一
PQ的方程为
y-y0=（y1-y2）/（x1-x2）*(x-x0)
中垂线与PQ垂直
PQ中垂线的方程为
y-y0=-（x1-x2）/（y1-y2）*(x-x0)
根据式一
y-y0=2y0*(x-1)
y+2=y0*(2x+1)
过定点（-1/2,-2）
证明完毕