任意一个自然数,各数位相加,乘3加1,多次重复操作这种运算多次后,得到的不变数是几?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 07:06:47

任意一个自然数,各数位相加,乘3加1,多次重复操作这种运算多次后,得到的不变数是几?
任意一个自然数,各数位相加,乘3加1,多次重复操作这种运算多次后,得到的不变数是几?

任意一个自然数,各数位相加,乘3加1,多次重复操作这种运算多次后,得到的不变数是几?
既然是任意一个自然数,不妨任取一自然数为12,则:
第1步:(1+2)X3+1=10;
第2步:(1+0)X3+1=4;
第3步:4X3+1=13;
第4步:(1+3)X3+1=13;
……
可知,这个不变数为13.

N乘三加一

1*3+1=4
4*3+1=13
4*3+1=13
所以不变数是13

分析：
根据题意列出式子可知计算方法是：如自然数12，则3（1+2）+1=10，3（1+9）+1=31，3（3+1）+1=13，3（1+3）+1=13…所以这个固定不变的数R=13．

随便写出一个自然数，按照题中的做法可知，这个固定不变的数R=13．
（楼主求给分呀~）

任意自然数各位相加后，乘3，如果不加1，那么各位的和必然是3的倍数；
多次重复后，在加1之前，总会使结果为3，6，9之一，加1之后结果为4，7，10之一；
如果是4，则有：4x3+1 = 13 ==> 1+3=4 ..........
如果是7，则有：7x3+1 = 22 ==> 2+2=4 ==>4x3+1=13 ...

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任意自然数各位相加后，乘3，如果不加1，那么各位的和必然是3的倍数；
多次重复后，在加1之前，总会使结果为3，6，9之一，加1之后结果为4，7，10之一；
如果是4，则有：4x3+1 = 13 ==> 1+3=4 ..........
如果是7，则有：7x3+1 = 22 ==> 2+2=4 ==>4x3+1=13 ==> 1+3 = 4..........
如果是10，则有：1+0 =1 ==> 1x3 +1=4 ........
结论：
多次重复后，得到的不变数是4；

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任取一个n位数m，则m的各数位相加最大为9n(各数位上全是9)，乘3加1后为27n+1。
如果27n+1比n位数的最小的那个数10^(n-1)还小
（因为27n+1<10^(n-1)对n>=3恒成立）
也即当操作中得到的数的位数一直大于等于3时，则通过上述步骤得到的一系列数是递减的。
所以如果存在满足条件的数，则n=1或2。
设m=10a+b，a、b均为0到9之间的整数。
由3(a+b)+1=10a+b得：7a=2b+1，只有a=1，b=3。
所以不变数是13。
此外，通过对初始值为1~18进行操作发现，它们最终都会落入到13。根据上述论证及这个现象，我们便知从任一个自然数出发都会落入13，而不会进入到某一个循环。

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