设函数f(x)=-(1/2)x²+13/2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a,b的值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 06:52:45
设函数f(x)=-(1/2)x²+13/2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a,b的值

设函数f(x)=-(1/2)x²+13/2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a,b的值
设函数f(x)=-(1/2)x²+13/2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a,b的值

设函数f(x)=-(1/2)x²+13/2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a,b的值
思路:分情况讨论
易知,f(x)图象关于y轴对称,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减
情况(1)若0<a<b,f(a)>f(b)
则f(a)=2b,f(b)=2a
即-1/2 a²+13/2=2b —— ——①
-1/2 b²+13/2=2a—— ——②
由①得 b=-1/4 a²+13/4
代入②,得-1/2(-1/4 a²+13/4)²+13/2=2a
化简,得 a^4-26a²+64a-39=0————③
这个方程不好解,采取分解因式法.
设g(a)=a^4-26a²+64a-39,则方程③即为g(a)=0
先将39分解因数,39=3×13,将a=3代入g(a),可得g(3)=0
说明a=3是方程③的一个根
∴g(a)=(a-3)×A (A是代数式)
g(a)=(a^4-3a³)+(3a³-9a²)-(17a²-51a)+(13a-39)
=(a-3)a³+3(a-3)a²-17(a-3)a+13(a-3)
=(a-3)(a³+3a²-17a+13)
∴上述的A=a³+3a²-17a+13
同理,A=(a-1)(a²+4a-13)
解方程 a²+4a-13=0
得a1=-2+√17,a2=-2-√17
∴g(a)=(a-3)(a-1)[a-(-2+√17)] [a-(-2-√17)]
∴方程g(a)=0的根为
a1=3 a2=1 a3=-2+√17 a4=-2-√17
又a>0,∴a=3,1,-2+√17
若a=3 代入方程①,解得b=1<a(舍去)
若a=1 代入①,得b=3 ∴a=1,b=3是一组解
若a=-2+√17,解得b=-2+√17=a
严格地讲,此时[a,b]不是一个区间,而是一个点,∴舍去
情况(2)若a<0<b
则f(0)=2b,f(a)=2a或f(b)=2a
则b=13/4 ∴f(b)=39/32
情况① 若f(a)=2a
即-1/2a²+13/2=2a且应满足f(a)≤f(b)
解得a1=-2+√17>0(舍去),a2=-2-√17
此时满足f(a)<f(b)
情况②若f(b)=2a 则应满足f(b)≤f(a)
a=39/64>0(舍去)
情况(3)若a<b<0 则f(a)<f(b)
∴f(a)=2a,f(b)=2b
即-1/2a²+13/2=2a
-1/2b²+13/2=2b
分别解之,得a1=-2+√17>0(舍去),a2=-2-√17
b1=-2+√17>0(舍去),b2=-2-√17=a(舍去)
综上所述,a=1,b=3或a=-2-√17,b=13/4
注:若题目改为“定义域为{x|a≤x≤b}、值域为{y|2a≤y≤2b}”
则a=b=-2+√17或a=b=-2-√17也可作为解

设函数f(x)=x²+|x-2|-1 (1)判断函数f(x)的奇偶性.(2)求函数f(x)的最小值 设函数f(x)=x²+丨x-2丨-1,x∈R,(1)判断函数奇偶性(2)求函数f(x)的最小值 设f(x),g(x)可导,求下列函数的导数1)y=根号下1+f²(x)+g²(x) 2)y=e的f²(x)次幂 × f(e的 设函数f(2x)=log3(8x²+7),则f(1)=? 设函数f(2t-1)=t²-2t+2,则函数f(x)= 几道高一函数1.已知f(x)=x²,g(x)=x分之1①求p(x)=f(x)+g(x)的定义域②求f(2)+g(2),f(a²+1)+g(a²+1)2.设函数f(x)=x²+x分之1,g(x)=2x-x分之1,求函数f(x)+g(x)3.设函 已知函数设函数f(X)=3cos²+2cosxsinx+sin²x,求f(x)的最大值,并求出此时x的值 设f(x),g(x)可导,求下列函数的导数1)y=根号下1+f²(x)+g²(x) 2)y=e的f²(x)次幂 × f(e的2)y=e的f²(x)次幂 × f(e的x²次幂) 设函数f(x)={a/x+b/(x²-x) x>1{x x 设函数f(x)=x²e【(x-1)次方】+a(x三次方)+bx²,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.(1)求a和b的设函数f(x)=x²e【(x-1)次方】+a(x三次方)+bx²,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.(1)求a和b的值(2 高一函数换元法为什么最后可以直接换成X例如 f(x-1)=x²-2x,求f(x) 设x=t+1最后的是t²-1 然后已知 t=x-1 把t²-1改成(x-1)²-1不行吗? 我看别人正解做的都是x²+1啊 为什么? 太费脑子了 1、设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x²-2x+2,则当x∈R时,f(x)=?2、函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且f(a²)>f(3a+4),则实数a的取值范围是?3、若函数f(x)=(k-2)x²+ 已知函数f(x)=1-X²,...已知分段函数f(x)=1-X²,x≤1;X²+X-2,x>1(1)解不等式f(x) 已知函数f(x)=2+1/a-1/(a²x),设0 已知函数f(x)=2+1/a-1/(a²x),设0 已知函数f(x)=(2a+1)/a-1/(a²x),设0 完整设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足f(-x)=f(x),f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,并且f(2a²+a+1)<f(3a²-2a+1),求实数a的取值范围 已知函数f(x)=(4x²-7)/(2-x),x∈[0,1](1)求f(x)的单调区间和值域(2)设a≥1,函数g(x)=x²-3a²x-2ax,x∈[0,1],若对于任意x₁∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x₁