作业帮要详细的例题介绍等差和等比数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 03:14:38
要详细的例题介绍等差和等比数列
要详细的例题介绍等差和等比数列
要详细的例题介绍等差和等比数列
一、 等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.
等差数列{an}的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：
(2)
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
在等差数列{an}中,等差中项：
,
且任意两项am,an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
二、 等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
等比数列{an}的通项公式是：
an=a1·qn-1
前n项和公式是：
在等比数列中,等比中项：
,
且任意两项am,an的关系为an=am·qn-m
如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1,这个数列就叫做无穷递缩等比数列,它的各
项的和(又叫所有项的和)的公式为：
从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,则有：
ap·aq=am·an,
记πn=a1·a2…an,则有
π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则{Can}是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.
重要的不仅是两类基本数列的定义、性质,公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧,也是极其珍贵的,诸如“倒排相加”(等差数列),“错位相减”(等比数列).
数列中主要有两大类问题,一是求数列的通项公式,二是求数列的前n项和.