作业帮2010东城初三数学一模12题 不用特殊值法怎么证明?2010东城初三数学一模12题 12.如图,P为边长为2的正三角形中任意一点,连接PA、PB、P C,过P点分别做三边的垂线,垂足分别为D、E、F,则 PD+PE+PF=______
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 00:17:09
2010东城初三数学一模12题 不用特殊值法怎么证明?2010东城初三数学一模12题 12.如图,P为边长为2的正三角形中任意一点,连接PA、PB、P C,过P点分别做三边的垂线,垂足分别为D、E、F,则 PD+PE+PF=______
2010东城初三数学一模12题 不用特殊值法怎么证明?
2010东城初三数学一模12题
12.如图,P为边长为2的正三角形中任意一点,连接PA、PB、
P C,过P点分别做三边的垂线,垂足分别为D、E、F,则 PD+PE+PF=__________；阴影部分的面积为__________.
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等边三角形的高为√3
则其面积为1/2×2×√3=√3
该三角形的面积也等于3个小三角形面积之和
1/2×2×PD+1/2×2×PE+1/2×2×PF
=PD+PE+PF
=√3
如图,过P做GH//BC,LM//AC,JK//AB
剩下的应该能看出来了吧,相邻的黑色小三角形和白色小三角形面积相等
举例：△BPG和△BPJ面积相同(平行四边形对角线原理）,△JPD和△MPD面积相同（△JPM为正三角形）,其他类推
可见最终黑白面积各占一半,故阴影面积为1/2*1/2*2*2*sin60°=（根号3）/2
根据面积相等的原理，1/2*2*（PD+PE+PF）=ABC的面积=1/2*2*√3
所以PD+PE+PF=√3
阴影面积没有图看不到啊
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