如何用微积分知识推导球的体积公式?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 11:13:51
如何用微积分知识推导球的体积公式?

如何用微积分知识推导球的体积公式?
如何用微积分知识推导球的体积公式?

如何用微积分知识推导球的体积公式?
楼主等一会,给你三种详细推导(证明)方法,给你做个图片. 
不好意思,电脑出了点问题,现在才能将图片传上.几分钟后即可见到.

x=Rcost,y=Rsint, 0<=t<=pi/2
是第一象限内的圆弧参数方程，你如果愿意当然也可以用普通方程。
那么它和坐标轴围成的四分之一圆绕x轴旋转能形成一个半球，因此
可知半径为R的球的体积为：
V=2∫(0,pi/2)pi*(Rsint)^2d(Rcost)
=2pi*R^3∫(0,pi/2)(1-cos^2t)dcost
=2pi*R...

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x=Rcost,y=Rsint, 0<=t<=pi/2
是第一象限内的圆弧参数方程，你如果愿意当然也可以用普通方程。
那么它和坐标轴围成的四分之一圆绕x轴旋转能形成一个半球，因此
可知半径为R的球的体积为：
V=2∫(0,pi/2)pi*(Rsint)^2d(Rcost)
=2pi*R^3∫(0,pi/2)(1-cos^2t)dcost
=2pi*R^3*(cost-cos^3t/3)|(0,pi/2)
=2pi*R^3*[(cos0-(cos0)^3/3)-(cospi/2-(cospi/2)^3/3)]
=2pi*R^3*(1-1/3)
=4pi*R^3/3

收起

你可以把球看成是由无数个球壳组成的，每个球壳的面积为4派r的平方，将面积函数积分就是体积了，积分限为0到R。

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