七年级数学下册知识点总结

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第一章 整式的运算
一.整式
※1.单项式
①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式.单独一个数或字母也是单项式.
②单项式的系数是这个单项式的数字因数,作为单项式的系数,必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.
③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
※2.多项式
①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
②单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.
※3.整式单项式和多项式统称为整式.
二.整式的加减
¤1.整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
¤2.括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.
三.同底数幂的乘法
※同底数幂的乘法法则:(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时,不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加；而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；
⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）
四．幂的乘方与积的乘方
※1.幂的乘方法则：(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
※2..
※3.底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底,
如将（-a）3化成-a3
※4．底数有时形式不同,但可以化成相同.
※5．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的,不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）.
※6．积的乘方法则：积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即 （n为正整数）.
※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用.
五.同底数幂的除法
※1.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).
※2.在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即 ,如 ,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a

？”石头听了，感谢不尽。那僧便念咒书符，大展幻术，将一
块大石登时变成一块鲜明莹洁的美玉，且又缩成扇坠大小的可
佩可拿。那僧托于掌上，笑道：“形体倒也是个宝物了！还只
没有实在的好处，须得再镌上数字，使人一见便知是奇物方妙
。然后携你到那昌明隆盛之邦，诗礼簪缨之族，花柳繁华地，
温柔富贵乡去安身乐业。”石头听了，喜不能禁，乃问：“不
知赐了弟子那几件...

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？”石头听了，感谢不尽。那僧便念咒书符，大展幻术，将一
块大石登时变成一块鲜明莹洁的美玉，且又缩成扇坠大小的可
佩可拿。那僧托于掌上，笑道：“形体倒也是个宝物了！还只
没有实在的好处，须得再镌上数字，使人一见便知是奇物方妙
。然后携你到那昌明隆盛之邦，诗礼簪缨之族，花柳繁华地，
温柔富贵乡去安身乐业。”石头听了，喜不能禁，乃问：“不
知赐了弟子那几件奇处，又不知携了弟子到何地方？望乞明示
，使弟子不惑。”那僧笑道：“你且莫问，日后自然明白的说
着，便袖了这石，同那道人飘然而去，竟不知投奔何方何舍。
后来，又不知过了几世几劫，因有个空空道人访道求仙，忽从
这大荒山无稽崖青埂峰下经过，忽见一大块石上字迹分明，编
述历历。空空道人乃从头一看，原来就是无材补天，幻形入世
蒙茫茫大士渺渺真人携入红尘，历尽离合悲欢炎凉世态的一段
此系身前身后事，倩谁记去作奇传？诗后便是此石坠落之乡投
胎之处，亲自经历的一段陈迹故事。其中家庭闺阁琐事，以及
闲情诗词倒还全备，或可适趣解闷，然朝代年纪、地舆邦国反
空空道人遂向石头说道：“石兄，你这一段故事，据你自己说
有些趣味，故编写在此，意欲问世传奇。据我看来，第一件，
无朝代年纪可考；第二件，并无大贤大忠理朝廷治风俗的善政
，其中只不过几个异样女子，或情或痴，或小才微善，亦无班
姑蔡女之德能。我纵抄去，恐世人不爱看呢。”石头笑答道：
“我师何太痴耶！若云无朝代可考，今我师竟假借汉唐等年纪
添缀，又有何难？但我想，历来野史，皆蹈一辙，莫如我这不
此套者，反倒新奇别致，不过只取其事体情理罢了，又何必拘
拘于朝代年纪哉！再者，市井俗人喜看理治之书者甚少，爱适
趣闲文者特多。历来野史，或讪谤君相，或贬人妻女，奸淫凶
恶，不可胜数。更有一种风月笔墨，其淫秽污臭，屠毒笔墨，
坏人子弟，又不可胜数。至若佳人才子等书，则又千部共出一
套，且其中终不能不涉于淫滥，以致满纸潘安、子建、西子
君、不过作者要写出自己的那两首情诗艳赋来，故假拟出男女
二人名姓，又必旁出一小人其间拨乱，亦如剧中之小丑然。且
鬟婢开口即者也之乎，非文即理。故逐一看去，悉皆自相矛盾
，大不近情理之话，竟不如我半世亲睹亲闻的这几个女子，虽
不敢说强似前代书中所有之人，但事迹原委，亦可以消愁破闷
；也有几首歪诗熟话，可以喷饭供酒。至若离合悲欢，兴衰际
遇，则又追踪蹑迹，不敢稍加穿凿，徒为供人之目而反失其真
传者。今之人，贫者日为衣食所累，富者又怀不足之心，纵然
一时稍闲，又有贪淫恋色，好货寻愁之事，那里去有工夫看那
理治之书？所以我这一段故事，也不愿世人称奇道妙，也不定
要世人喜悦检读，只愿他们当那醉淫饱卧之时，或避事去愁之
际，把此一玩，岂不省了些寿命筋力？就比那谋虚逐妄，却也
省了口舌是非之害，腿脚奔忙之苦。再者，亦令世人换新眼目
不比那些胡牵乱扯，忽离忽遇，满纸才人淑女、子建文君红娘
空空道人听如此说，思忖半晌，将《石头记》再检阅一遍，因
见上面虽有些指奸责佞贬恶诛邪之语，亦非伤时骂世之旨；及
至君仁臣良父慈子孝，凡伦常所关之处，皆是称功颂德，眷眷
无穷，实非别书之可比。虽其中大旨谈情，亦不过实录其事，
又非假拟妄称，一味淫邀艳约、私订偷盟之可比。因毫不干涉
时世，方从头至尾抄录回来，问世传奇。从此空空道人因空见
色，由色生情，传情入色，自色悟空，遂易名为情僧，改《石
头记》为《情僧录》。东鲁孔梅溪则题曰《风月宝鉴》。后因
曹雪芹于悼红轩中披阅十载，增删五次，纂成目录，分出章回
当日地陷东南，这东南一隅有处曰姑苏，有城曰阊门者，最是
红尘中一二等富贵风流之地。这阊门外有个十里街，街内有个
仁清巷，巷内有个古庙，因地方窄狭，人皆呼作葫芦庙。庙旁
住着一家乡宦，姓甄，名费，字士隐。嫡妻封氏，情性贤淑，
深明礼义。家中虽不甚富贵，然本地便也推他为望族了。因这

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（一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形 。如果把乘法公式反过来就是把多项式分 解因式。于是有： a2-b2=(a b)(a-b) a2 2ab b2=(a b)2 a2-2ab b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某 些多项式分解因式。这种分解因式的方法 叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子： a2-b2=(a b)(a-b) （2）语...

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（一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形 。如果把乘法公式反过来就是把多项式分 解因式。于是有： a2-b2=(a b)(a-b) a2 2ab b2=(a b)2 a2-2ab b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某 些多项式分解因式。这种分解因式的方法 叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子： a2-b2=(a b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两 个数的和与这两个数的差的积。这个公式 就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先 提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式 因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a b)2=a2 2ab b2 和 (a-b)2=a2-2ab b2反过来，就可以得到 ： a2 2ab b2 =(a b)2 a2-2ab b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者 减去）这两个数的积的2倍，等于这两个 数的和（或者差）的平方。 把a2 2ab b2和a2-2ab b2这样的式子 叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的 符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提 出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项 式，也可以表示多项式。这里只要将多项 式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项 式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am an bm bn，这四项 中没有公因式，所以不能用提取公因式法 ，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am an)和(bm bn)，这两组能分别用提取公因式的方法 分别分解因式． 原式=(am an) (bm bn) ＝a(m n) b(m n) 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为 它不符合因式分解的意义．但不难看出这 两项还有公因式(m n)，因此还能继续分 解，所以 原式=(am an) (bm bn) ＝a(m n) b(m n) ＝(m n)•(a b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组 分解法．从上面的例子可以看出，如果把 一个多项式的项分组并提取公因式后它们 的另一个因式正好相同，那么这个多项式 就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式 分解时，首先观察多项式的结构特点，确 定多项式的公因式．当多项式各项的公因 式是一个多项式时，可以用设辅助元的方 法把它转化为单项式，也可以把这个多项 式因式看作一个整体，直接提取公因式； 当多项式各项的公因式是隐含的时候，要 把多项式进行适当的变形，或改变符号， 直到可确定多项式的公因式． 2. 运用公式x2 (p q)x pq=(x q)(x p)进 行因式分解要注意： 1．必须先将常数项分解成两个因数的积 ，且这两个因数的代数和等于 一次项的系数． 2．将常数项分解成满足要求的两个因数 积的多次尝试，一般步骤： ① 列出常数项分解成两个因数的积各种 可能情况； ②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一 次项系数． 3．将原多项式分解成(x q)(x p)的形式 ． （七）分式的乘除法 1.把一个分式的分子与分母的公因式约去 ，叫做分式的约分． 2.分式进行约分的目的是要把这个分式化 为最简分式． 3.如果分式的分子或分母是多项式，可先 考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形 式，再约去分子与分母的公因式．如果分 子或分母中的多项式不能分解因式，此时 就不能把分子、分母中的某些项单独约分 ． 4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法 则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2， (x-y)3＝-(y-x)3． 5．分式的分子或分母带符号的n次方， 可按分式符号法则，变成整个分式的符号 ，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为 负来处理．当然，简单的分式之分子分母 可直接乘方． 6．注意混合运算中应先算括号，再算乘 方，然后乘除，最后算加减． （八）分数的加减法 1．通分与约分虽都是针对分式而言，但 却是两种相反的变形．约分是针对一个分 式而言，而通分是针对多个分式而言；约 分是把分式化简，而通分是把分式化繁， 从而把各分式的分母统一起来． 2．通分和约分都是依据分式的基本性质 进行变形，其共同点是保持分式的值不变 ． 3．一般地，通分结果中，分母不展开而 写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多 项式，为进一步运算作准备． 4．通分的依据：分式的基本性质． 5．通分的关键：确定几个分式的公分母 ． 通常取各分母的所有因式的最高次幂的积 作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 ． 6.类比分数的通分得到分式的通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来的分 式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 ． 7．同分母分式的加减法的法则是：同分 母分式相加减，分母不变，把分子相加减 。
同分母的分式加减运算，分母不变，把分 子相加减，这就是把分式的运算转化为整 式运算。 8．异分母的分式加减法法则：异分母的 分式相加减，先通分，变为同分母的分式 ，然后再加减．
9．同分母分式相加减，分母不变，只须 将分子作加减运算，但注意每个分子是个 整体，要适时添上括号． 10．对于整式和分式之间的加减运算， 则把整式看成一个整体，即看成是分母为 1的分式，以便通分． 11．异分母分式的加减运算，首先观察 每个公式是否最简分式，能约分的先约分 ，使分式简化，然后再通分，这样可使运 算简化． 12．作为最后结果，如果是分式则应该 是最简分式． (九)含有字母系数的一元一次方程 1．含有字母系数的一元一次方程 引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个 数。用x表示这个数，根据题意，可得方 程 ax=b（a≠0） 在这个方程中，x是未知数，a和b是用字 母表示的已知数。对x来说，字母a是x的 系数，b是常数项。这个方程就是一个含 有字母系数的一元一次方程。 含有字母系数的方程的解法与以前学过的 只含有数字系数的方程的解法相同，但必 须特别注意：用含有字母的式子去乘或除 方程的两边，这个式子的值不能等于零。
为这个浪费了好多时间，望采纳！

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