数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 07:30:12

数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射
数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射

数学分析：证明不存在由R^2到[0,1]上的连续双射
用反证法,假设存在连续双射f:R² → [0,1].
由f是满射,则存在(a,b),(c,d) ∈ R²使f(a,b) = 0,f(c,d) = 1.
不难构造连续映射g,h:[0,1] → R²,使g(0) = h(0) = (a,b),g(1) = h(1) = (c,d),
且对任意x,y ∈ (0,1),有g(x) ≠ h(y).
(实际上就是取两条(a,b)到(c,d)的连续曲线,并使二者在端点以外不相交).
可知复合映射fg,fh:[0,1] → [0,1]也连续,并满足fg(0) = fh(0) = 0,fg(1)=fh(1) = 1.
由介值定理,存在s,t ∈ (0,1)使fg(s) = 1/2 = fh(t).
但由f是单射,有g(s) = h(t),与g,h的选取矛盾.
因此不存在连续双射f:R² → [0,1].

假设R^2的子集D中有映射：f(x,y)->[0,1],设存在双射g(x)->[0,1],若f为双射，则存在f(x,y)=g(x)，so what？

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