这个公式的推导过程泰勒的

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 06:26:03
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这个公式的推导过程
泰勒的

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欲证此式,得先知道Lagrange中值定理,以及高阶导数的计算,从而得出Taylor定理.
1.lagrange中值定理：若X∈[a,b],且X在其上连续,并且可导,则有ξ∈[a,b],使得
f′（ξ）=[f(b)-f(a)]/(b-a).
2.sinX的n阶导数为sin（X+nπ/2）,
cosX的n阶导数为cos（X+nπ/2）.
这里用fn(y)表示f（y）的n阶导数.
下面就不说Taylor定理的证明,结论是
x,y∈[a,b],f(x)在（a,b）上n阶可导,有
f(x)=f(y)+f′(y)(x-y)+f〃(y)(x-y)²+…
+fn（y）（x-y)^n/n!+0(x-y)^n
其中0（x-y)^n表示比（x-y）的n次方高阶的无穷小.
令y=0,故有siny的n阶导数当y=0时,
n为偶数时为0,
n=4k+1时为1,
n=4k+3时为-1.
同理,cosy的n阶导数当y=0时,
n为奇数时其为0,
n=4k时为1,
n=4k+2时其为-1.
故sinX=sin0-cos0-（sin0）/2+……
+sin（x+nπ/2）（x-0)^n+0（x-0）^n
=x-x³/3!+x^5/5!-……
+sin（x+nπ/2）（x)^n+0（x）^n
令n→∞,有sinx=x-x³/3!+x^5/5!
-x^7/7!+……
cosx同理可证.

看图

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