已知凸四边形ABCD的面积为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,那么图中阴影部分面积是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 19:06:14

已知凸四边形ABCD的面积为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,那么图中阴影部分面积是多少?
已知凸四边形ABCD的面积为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,那么图中阴影部分面积是多少?

已知凸四边形ABCD的面积为a,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,那么图中阴影部分面积是多少?
连接BD、EH和FG,过EG和FH的交点O；
过O点作EH的垂直线交EH于M,反向延长交FG于N.见图.
∵E、H分别为AB、AD的中点
∴EH∥BD　EH＝BD／2　（相似三角形可证明）
∵F、G分别为BC、CD的中点
∴FG∥BD　FG＝BD／2　（同理）
∵S△AEH＝EH＊h／2　　（h为△AEH的高,图中没标,后同）
　S△ABD＝BD＊k／2　　（k为△ABD的高,且k＝2h）
∴S△AEH＝S△ABD／4
∵S△CFG＝FG＊s／2　　（s为△CFG的高）
　S△CBD＝BD＊r／2　　（r为△ABD的高,且r＝2s）
∴S△CFG＝S△CBD／4
∵S△ABD＋S△CBD＝SABCD＝a
∴S△AEH＋S△CFG＝a／4　

∵S△OEH＝EH＊OM／2
　S△OFG＝FG＊ON／2＝EH＊ON／2
∴S△OEH＋S△OFG＝EH＊MN／2
∵SEFGH＝EH＊MN＝SABCD／2　　（四边形EFGH是平行四边形）
∴S△OEH＋S△OFG＝a／4

∵SAEOH＝S△AEH＋S△OEH
　SCFOG＝S△CFG＋S△OFG
∴SAEOH＋SCFOG＝S△AEH＋S△OEH＋S△CFG＋S△OFG
　　　　　　　　　＝a／4＋a／4
　　　　　　　　　＝a／2
答：阴影部分的面积是四边形ABCD面积的一半.

面积的一半，我算了一下，你把所有的顶点与中间的那个点连起来，一看就知道了

阴影部分的面积为a/2