已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1）,求f(x)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 05:49:14

已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1）,求f(x)
已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1）,求f(x)

已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1）,求f(x)
显然定积分∫f(√x)dx(积分限0到1）为某一实数记为k,设f(x)=e^x+kx
令√x=t,则∫f(√x)dx(积分限0到1)=∫f(t)dt²(积分限0到1)=[(e^t+(k/2)x²)*(2t)-(2e^t+(k/3)t³)(t从0到1)=(2/3)k+2
将∫f(√x)dx(积分限0到1)=)=(2/3)k+2,f(x)=e^x+kx
带入原方程：e^x+(2/3)kx+2x=e^x+kx,对比得k=6
即：f(x)=e^x+6x

不懂。。。。。。

全部展开

∫f(√x)dx(积分限0到1）是个常数
令√x=u则x=u^2 dx=2udu
所以∫f(√x)dx(积分限0到1）
=∫2uf(u)du(积分限0到1）,
f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1）,
f(x)=e^x+x∫2uf(u)du(积分限0到1）,
2xf(x)=2xe^x+2x^2∫2uf(u)du(积分限0到1）,
对上式左右两边求积分积分限从0到1
∫2xf(x)dx=∫2xe^xdx+∫2uf(u)du*∫2x^2dx (积分限0到1）,
∫2uf(u)dx=2xe^x-∫2e^xdx+∫2uf(u)dx*2x^3/3(积分限0到1）,
∫2uf(u)dx=2xe^x-2e^x+∫2uf(u)dx*2x^3/3 |(0,1) (积分限0到1）,
∫2uf(u)dx=2e-2e+2/3*∫2uf(u)dx+2 (积分限0到1）,
即∫2xf(x)dx=6(积分限0到1）,
所以f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1)=e^x+6x

收起

已知f(x)=(1/x)e^x,求∫xf(x)dx 已知f(x)=(1/x)e^x,求∫xf(x)dx 已知函数f(x)满足∫f(x)/xdx=e^x+C 求 ∫f(x)dx ∫f(x)dx=F(x)+C,则∫e^-xf(e^-x)dx等于? 已知f(x)=e^(-2x) +x/(1+x^2),则∫f(x)dx等于? 已知f(x)=e^x+x∫f(√x)dx(积分限0到1）,求f(x) 若f(x)=e^x+2∫(0 1)f(x)dx 求f(x) 已知∫f(x)dx=xf(x)-∫x/√(1+x^2)dx,则f(x)= f（x）=lnx+∫(1,e)f(x)dx-f '(1) ,求f(x) f（x）=lnx+∫(1,e)f(x)dx-f '(1) ,求f(x) 若f(x)=e^x/1+e^x+x∫f(x)dx 求f(x)= 若∫f(x)dx=F(x)+c,则∫e^x f(2e^x)dx= ∫f(x)dx=f(x)+c 则∫e^-x f(e^-x)dx=____ 求科普设∫f(x)dx=F(x)+c 那么 ∫e^(-x)f(e^(-x))dx咋做? 已知f(x)=e^x+4∫f(t)dt,求∫f(x)dx高数已知f(x)=e^-2x.求不定积分f(lnx)/x.dx 设连续函数f(x)=lnx-∫(1~e)f(x)dx,求f(x) ∫ f(x)dx=x^2*e^(2x)+c,则f(x)=?