不等式(用数学归纳法)已知a1,a2,a3一直到an为两两不相同的正整数,求证; a1/1^2+a2/2^2+加到an/n^2大于等于1+1/2+1/3+加到1/n.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 13:58:51

不等式(用数学归纳法)已知a1,a2,a3一直到an为两两不相同的正整数,求证; a1/1^2+a2/2^2+加到an/n^2大于等于1+1/2+1/3+加到1/n.
不等式(用数学归纳法)
已知a1,a2,a3一直到an为两两不相同的正整数,求证; a1/1^2+a2/2^2+加到an/n^2大于等于1+1/2+1/3+加到1/n.

不等式(用数学归纳法)已知a1,a2,a3一直到an为两两不相同的正整数,求证; a1/1^2+a2/2^2+加到an/n^2大于等于1+1/2+1/3+加到1/n.
由于an的顺序与本题无关,故不妨设an 是单调递增的
因为当不是递增时 a1/1^2+a2/2^2+加到an/n^2的值要比递增时大
从而
n=1满足,假设n=k满足,当n=k+1时
有
a1/1^2+a2/2^2+加到ak/k^2+a(k+1)/(k+1)^2
由归纳假设>=1+1/2+1/3+加到1/k+a(k+1)/(k+1)^2.
只需证a(k+1)/(k+1)^2>=1/(k+1)
即a(k+1)>=(k+1)
由于a1,a2,a3一直到an为两两不相同的正整数,从而由a(k+1)的递增性知
a(k+1)>=(k+1)成立,从而得证

当n=1时，成立
假设n=K时，不等式成立
当n=K+1时，不等式也成立（联系n=K时的假设）
即证

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n=1,a1>=1成立
设m(m>=1),
a1/1^2+a2/2^2+...+am/m^2>=m根号(（a1a2a3...am）/1^2*2^2*3^2*...m^2)=(m/m!)根号(a1a2a3...am)
=(1/(m-1)!)根号(a1a2a3...am)
因为此题对a1a2a3...am没有限制，求证大于等于，则保证a1a2a3...am最小=1
a1/1^2+a2/2^2+...+an/n^2>=1/(m-1)!=m/m!
1+1/2+1/3+...+1/m>=m根号(1/m!)
又因为根号(1/m!)〉=1/m!
所以在m+1时
此时也成立！
所以德政~
谢谢~

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不用数学归纳法就可以证明
a1,a2,...,an两两不相同的正整数
若其中某两个 ai aj iaj 则交换 ai,aj的位置
a1/1^2+a2/2^2+...+ai/i^2+...+aj/j^2+...+an/n^2
>a1/1^2+a2/2^2+...+aj/i^2+...+ai/j^2+...+an/n^2
故当a1又a1,a2,a3一直到an为两两不相同的正整数
则ai>=i
故a1/1^2+a2/2^2+加到an/n^2>=1/1^2+2/2^2+...+n/n^2=1+1/2+1/3+加到1/n.
用数学归纳法是画蛇添足

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这题不需要数学归纳法，我们不妨这样想：假设a1,a2,...,an从小到大的排列为b1,b2,...,bn,则b1=1,b2>=2,b3>=3,...bn>=n，而且我们知道1/1^2>=1/2^2>=1/3^2>=...>=1/n^2
且b1而a1,a2,...,an是任一排列，

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这题不需要数学归纳法，我们不妨这样想：假设a1,a2,...,an从小到大的排列为b1,b2,...,bn,则b1=1,b2>=2,b3>=3,...bn>=n，而且我们知道1/1^2>=1/2^2>=1/3^2>=...>=1/n^2
且b1而a1,a2,...,an是任一排列，
所以a1/1^2+a2/2^2+...+an/n^2是乱序和，b1/1^2+b2/2^2+...+bn/n^2是反序和，由排序原理知必有乱序和>=反序和，即：a1/1^2+a2/2^2+...+an/n^2>=b1/1^2+b2/2^2+...+bn/n^2
再由b1>=1,b2>=2,b3>=3,...bn>=n可得
b1/1^2+b2/2^2+...+bn/n^2>=1/1+2/2^2+3/3^2+...+n/n^2=1+1/2+1/3+...+1/n
即a1/1^2+a2/2^2+...+an/n^2>=1+1/2+1/3+...+1/n
证毕

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