函数y=根号（3x）+根号（1-3x)的最大值是? 谢谢

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 09:45:02

函数y=根号（3x）+根号（1-3x)的最大值是? 谢谢
函数y=根号（3x）+根号（1-3x)的最大值是? 谢谢

函数y=根号（3x）+根号（1-3x)的最大值是? 谢谢
可设3x=k,易知,0≤k≤1
且y=(√k)+√(1-k)
两边平方,y²=1+2√[-k²+k]
-k²+k=-[k-(1/2)]²+(1/4)
由0≤k≤1可知：0≤-k²+k≤1/4
∴0≤2√(-k²+k)≤1
∴1≤y²≤2
∴1≤y≤√2
∴函数最大值=√2

由题意可知3x>=0,1-3x>=0
解得x的范围为[0,1/3]
又设√（1-3x)=t，所以3x=1-t^2
所以y=1-t^2+t=-(t^2-t+1/4-1/4)+1
=-（t-1/2）^2+5/4
所以最大值为5/4,此时t=1/2 ,x=1/4

根号2，当x=1/6时取得

y=√（3x）+√（1-3x)，y‘=3/（2√（3x））+（-3）/（2√（1-3x)）=3/2（√（1-3x)-√（3x））/（√（3x）√（1-3x)），令y‘=0，x=1/6，由题意可知3x≥0，1-3x≥0，x∈[0,1/3]，
y（0）=1，y（,1/3）=1，y（1/6）=√（1/2）+√（1/2）=√2，所以y=√（3x）+√（1-3x)的最大值是
√2。...

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