作业帮已知菱形ABCD的边长为1,∠ADC=60°,等边三角形AEF两边分别交CD,CB于点E,F1,特殊发现,如图1,若点E,F分别是边CD,CB的中点,求证菱形ABCD对角线AC,BD交点O为等边三角形AEF的外心2若点E,F始终在边CD,CB上移
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 14:37:21
已知菱形ABCD的边长为1,∠ADC=60°,等边三角形AEF两边分别交CD,CB于点E,F1,特殊发现,如图1,若点E,F分别是边CD,CB的中点,求证菱形ABCD对角线AC,BD交点O为等边三角形AEF的外心2若点E,F始终在边CD,CB上移
已知菱形ABCD的边长为1,∠ADC=60°,等边三角形AEF两边分别交CD,CB于点E,F
1,特殊发现,如图1,若点E,F分别是边CD,CB的中点,求证菱形ABCD对角线AC,BD交点O为等边三角形AEF的外心
2若点E,F始终在边CD,CB上移动,记等边三角形AEF的外心为P
1）如图2,猜想等边三角形AEF的外心落在那一条直线上,并加以证明
2）如图3,当三角形AEF面积最小,过点P任意做一直线分别交DA于点M,交CD延长线于点N,试判断（1/DM)+(1/DN)是否为定值,若是,请求出定值,若不是,清说明理由
图由左至右分别为图1,图2,下面的是图3
已知菱形ABCD的边长为1,∠ADC=60°,等边三角形AEF两边分别交CD,CB于点E,F1,特殊发现,如图1,若点E,F分别是边CD,CB的中点,求证菱形ABCD对角线AC,BD交点O为等边三角形AEF的外心2若点E,F始终在边CD,CB上移
1）证明：如图1,分别连接OE、0F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC．AO=DC=BC,
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°,
又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴OE=CD,OF=BC,AO=AD,
∴0E=OF=OA,
∴点O即为△AEF的外心．
（2）
①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明： 如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA,
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ,
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上．
②1/DM+1/DN为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P,由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G,
设DM=x,DN=y（x≠0．y≠O）,则CN=y-1,
∵BC∥DA,
∴△GBP≌△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA,
∴△NCG∽△NDM,
∴CN/DN=CG/DM,
∴(y-1)/y=(1-x)/x,
∴x+y=2xy,
∴1/x+1/y=2,
即1/DM+1/DN=2．
