作业帮(a+b+c)^5的展开式中合并同类项后共有多少项
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:54:44
(a+b+c)^5的展开式中合并同类项后共有多少项
(a+b+c)^5的展开式中合并同类项后共有多少项
(a+b+c)^5的展开式中合并同类项后共有多少项
估计楼主被上面两位的方法搞晕了
可以分类分析：
m=5时,(n,k)取(0,0),1种
m=4时,(n,k)取(1,0)(0,1),2种
m=3时,(n,k)取(2,0)(1,1)(0,2),3种
m=2时,(n,k)取(3,0)(2,1)(1,2)(0,3),4种
m=1时,(n,k)取(4,0)(3,1)(2,2)(1,3)(0,4),5种
m=0时,(n,k)取(5,0)(4,1)(3,2)(2,3)(1,4)(0,5),6种
共有1+2+3+4+5+6=21项
也可以这么分析：
m依次从0~5取一个值后,n只能从0~(5-m)中取值,剩下的k就是(5-m-n)了
那么总的取值法是：6+5+4+3+2+1=21
即：展开式有21项
（a+b+c)的5次方的展开式中每一项为C*(a^j)*(b^k)*(c^p),其中C为常数,j+k+p=5,j>=0,k>=0,p>=0.方程j+k+p=5解的个数,相当于5个球放入j,k,p三个箱子的放法总数,显然,每个球均有3种放法,总共有5 个球,所以5个球放入j,k,p三个箱子的放法总数为3^5=243种,故(a+b+c)的5次方的项数为243.展开式中项都是含形如(a^m)(b^n)(c^p),其中m+n+p=5,且m、n、p是非负整数.
于是问题可转化为 上述方程的非负整数解的个数问题.
可把m、n、p看作是三个盒子,一共装有5个球,计算放球个数的方法总数.可用隔板法来 解.
将5个球排成一排中间放入2块隔板,将这5个球分成3堆,每一堆放入一个盒子内.
球和隔板共占有7个位置,于是有放法C(7,2)=21种（C(7,2)表示组合数）.
故展开式共有21项.