作业帮证明函数f:z + * z + → z + 是一对一且是映上的,其中f(m,n) = (m+n-2)(m+n -1)/2 + m
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 18:27:44
证明函数f:z + * z + → z + 是一对一且是映上的,其中f(m,n) = (m+n-2)(m+n -1)/2 + m
证明函数f:z + * z + → z + 是一对一且是映上的,其中f(m,n) = (m+n-2)(m+n -1)/2 + m
证明函数f:z + * z + → z + 是一对一且是映上的,其中f(m,n) = (m+n-2)(m+n -1)/2 + m
先给个直观解释,再给出证明.
将正整数排列如下:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
...
则f(m,n)就是第m+n-1行的第m个数.
对于不同的正整数对(m,n),显然相应的"坐标"(m+n-1,m)也不同,因此f是单射.
又对任意正整数k,设其"坐标"为(p,q) (p ≥ q),则f(q,p+1-q) = k,因此f是满射.
证明:先证单性(一对一).
设正整数对(m,n),(p,q)满足f(m,n) = f(p,q),且不妨设m+n ≤ p+q.
假设m+n < p+q,即有m+n+1 ≤ p+q,
则f(p,q) = (p+q-2)(p+q-1)/2+p
> (p+q-2)(p+q-1)/2
≥ (m+n-1)(m+n)/2
= (m+n-1)(m+n-2)/2+(m+n-1)
≥ (m+n-1)(m+n-2)/2+m
= f(m,n),
得f(p,q) > f(m,n),矛盾.
因此m+n = p+q,代回f(m,n) = f(p,q)即得m = p,从而n = q.
由f(m,n) = f(p,q)可得到(m,n) = (p,q),即f为单射.
再证满性(映上).
注意到函数g(x) = (x-1)(x-2)/2对x ≥ 2严格单调递增并趋于无穷,且g(2) = 0.
对任意正整数k,存在正整数p ≥ 2,使g(p) < k ≤ g(p+1).
设m = k-g(p),则有1 ≤ m ≤ g(p+1)-g(p) = p-1.
取n = p-m,则n也为正整数,而k = g(p)+m = g(m+n)+m = f(m,n).
存在正整数对(m,n)使f(m,n) = k,即f为满射.