已知f（x）的一个原函数为sinx/x,求xf'(2x)的积分

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 21:44:35

已知f（x）的一个原函数为sinx/x,求xf'(2x)的积分
已知f（x）的一个原函数为sinx/x,求xf'(2x)的积分

已知f（x）的一个原函数为sinx/x,求xf'(2x)的积分
记F(x)=sinx/x
由于lim(x--0) sinx/x =1,F在R上有定义,取F(0)=1
下证F在0处可导,用洛必达法则（泰勒公式）可得
lim(x--0) (F(x)-F(0))/(x-0) =lim(x--0) (sinx/x-1)/x = lim(x--0) (sinx-x)/x^2
=lim(x--0) (cosx-1)/2x =lim(x--0) (-sinx/2) =0
即F'(0)=0=f(0)
当x不为0时,
f(x)=F'(x)=cosx/x-sinx/x^2
又再用洛必达法则有
lim(x--0) f(x) =lim(x--0) (xcosx-sinx)/x^2 =lim(x--0) (-xsinx)/2x =0
因此f可以记作 f(x)=cosx/x-sinx/x^2 x在R上取值
以上lim(x--0)表示x趋于0时的极限
由分部积分法,注意到f'(2x)的一个原函数为f(2x)/2,有
/ xf'(2x)dx=xf(2x)/2- / (f(2x)/2)dx
=xf(2x)/2- / (f(2x)/4)d(2x)
=xf(2x)/2- F(2x)/4 +c
=cos2x/4-sin2x/8x-sin2x/8x +c
=cos2x/4-sin2x/4x +c,其中c为任意常数
以上 /...dx表示求原函数

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