求微分方程 y*y"-y'^2=0 的通解.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 20:30:19

求微分方程 y*y"-y'^2=0 的通解.
求微分方程 y*y"-y'^2=0 的通解.

求微分方程 y*y"-y'^2=0 的通解.
设p=y',则y''=pdp/dy
代入原方程得ypdp/dy-p²=0
==>ydp/dy-p=0
==>dp/p=dy/y
==>ln│p│=ln│y│+ln│C1│ （C1是积分常数）
==>p=C1y
==>y'=C1y
==>dy/y=C1dx
==>ln│y│=C1x+ln│C2│ （C2是积分常数）
==>y=C2e^(C1x)
故原微分方程的通解是y=C2e^(C1x) （C1,C2是积分常数）.

设y ' =p
则y '' =d(y ')/dx=dp/dx=dp/dy * dy/dx=p ' *y ' =p ' *p（注：p ' =dp/dy）
原式转化为 y*p ' *p -p^2=0
y*p ' =p
dp/p=dy/y
ln|p|=ln|y|+C
p=Cy
y ' =Cy
dy/y=Cdx
ln|y|=C1x+C2
y=C2e^(C1x)

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