作业帮函数f(x)满足方程xf'(x)-3f(x)=x^2+2x-3,且f(1)=0,求函数f(x)的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 10:31:02
函数f(x)满足方程xf'(x)-3f(x)=x^2+2x-3,且f(1)=0,求函数f(x)的解析式
函数f(x)满足方程xf'(x)-3f(x)=x^2+2x-3,且f(1)=0,求函数f(x)的解析式
函数f(x)满足方程xf'(x)-3f(x)=x^2+2x-3,且f(1)=0,求函数f(x)的解析式
一次微分方程,将之化为：
xdy=(x^2+2x-3+3y)dx
两边同时积分得：
xy=x^3/3+x^2-3x+3xy+a
其中a为积分产生常数项
代入y=0,x=1,得到a=5/3
于是y=x^2/6+x/2-3/2+5/6x
令y=f(x),则原方程为：xy'-3y=x^2+2x-3为一阶微分方程
上方程对应的齐次一阶微分方程为：xy'-3y=0 ，即xdy- 3ydx=0 ,(1/y)dy=(3/x)dx 两边积分得lny=3lnx+C，C为常数 ,y=C1x^3,C1为常数
对原方程，可令y=C(x)x^3，代入原方程可得x[C'(x)x^3+3C(x)x^2]-3C(x)x^3=x^...
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令y=f(x),则原方程为：xy'-3y=x^2+2x-3为一阶微分方程
上方程对应的齐次一阶微分方程为：xy'-3y=0 ，即xdy- 3ydx=0 ,(1/y)dy=(3/x)dx 两边积分得lny=3lnx+C，C为常数 ,y=C1x^3,C1为常数
对原方程，可令y=C(x)x^3，代入原方程可得x[C'(x)x^3+3C(x)x^2]-3C(x)x^3=x^2+2x-3
即 xC'(x)x^3=x^2+2x-3
C'(x)= (x^2+2x-3 )/x^4=1/x^2 +2/x^3-3/x^4
C(x)=-1/x -1/x^2+1/x^3+C2
故：y= (-1/x -1/x^2+1/x^3+C2 )x^3=C2x^3-x^2-x+1
又f(1)=0，代入得 C2-1-1+1=0,解得C2=1
所以y=f(x)=x^3-x^2-x+1
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